Страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое многочлен?

1.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой сумму одного или нескольких одночленов.

Чтобы понять это определение, нужно сначала разобраться, что такое одночлен. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (или нулевым) показателями.
Примеры одночленов: $5x^2$, $-7ab$, $y^3$, $12$ (число без переменных также является одночленом).

Теперь вернемся к многочлену. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами.
Пример многочлена: $4x^2y - 2xy + 5$.
Его членами являются одночлены $4x^2y$, $-2xy$ и $5$.

Стандартный вид многочлена — это такая его запись, при которой:

1. Все его члены являются одночленами стандартного вида (т.е. числовой коэффициент стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке).
2. Среди его членов нет подобных. Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $3a^2b$ и $-5a^2b$).
3. Члены многочлена (если он зависит от одной переменной) обычно располагают в порядке убывания их степеней.

Пример приведения к стандартному виду:
Возьмем многочлен $3xy^2 + 5x^2y - 2xy^2 - x^2y$.
Найдем подобные члены: $(3xy^2 - 2xy^2)$ и $(5x^2y - x^2y)$.
Выполним действия: $xy^2 + 4x^2y$.
Запишем в порядке убывания степеней (например, по переменной $x$): $4x^2y + xy^2$. Это и есть стандартный вид исходного многочлена.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней его членов. Степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех его переменных.
Пример: У многочлена $7x^3y^2 - 4x^4 + y - 9$ степени его членов равны:

• $7x^3y^2 \rightarrow 3+2=5$
• $-4x^4 \rightarrow 4$
• $y \rightarrow 1$
• $-9 \rightarrow 0$

Наибольшая степень равна $5$, следовательно, это многочлен пятой степени.

В общем виде многочлен от одной переменной $x$ записывается как:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, а $n$ — целое неотрицательное число, являющееся степенью многочлена.

Ответ: Многочлен — это сумма одночленов. Одночленом, в свою очередь, является произведение чисел и переменных, возведенных в целые неотрицательные степени.

2. Опишите процесс приведения многочлена к стандартному виду. Прокомментируйте это на примере приведения к стандартному виду многочлена $2ababc - 3abcb^2 + 4bcbab + 5a^2bcb$.

Опишите процесс приведения многочлена к стандартному виду.

Приведение многочлена к стандартному виду — это его преобразование к форме, в которой все его члены являются одночленами стандартного вида и отсутствуют подобные слагаемые. Процесс состоит из двух основных шагов.
Шаг 1: Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду. Каждый член многочлена (одночлен) приводится к своей стандартной форме. Одночлен считается представленным в стандартном виде, когда он записан как произведение числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. При этом каждая переменная встречается в записи лишь один раз, а сами переменные, как правило, располагаются в алфавитном порядке.
Шаг 2: Приведение подобных слагаемых. После стандартизации всех членов многочлена, необходимо найти и объединить подобные члены. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть (те же переменные с теми же показателями степени). Для их объединения нужно сложить их коэффициенты, а буквенная часть остается неизменной.
В результате выполнения этих двух шагов многочлен будет приведен к стандартному виду.

Ответ: Процесс приведения многочлена к стандартному виду заключается в приведении каждого его члена к стандартному виду и последующем сложении (приведении) подобных слагаемых.

Прокомментируйте это на примере приведения к стандартному виду многочлена $2ababc - 3abcb^2 + 4bcbab + 5a^2bcb$.

Рассмотрим исходный многочлен: $2ababc - 3abcb^2 + 4bcbab + 5a^2bcb$.

Шаг 1: Приведем каждый член этого многочлена к стандартному виду. Для этого сгруппируем одинаковые переменные и запишем их в виде степени, расположив в алфавитном порядке.
Первый член: $2ababc = 2 \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot c = 2a^2b^2c$.
Второй член: $-3abcb^2 = -3 \cdot a \cdot (b \cdot b^2) \cdot c = -3ab^3c$.
Третий член: $4bcbab = 4 \cdot a \cdot (b \cdot b \cdot b) \cdot c = 4ab^3c$.
Четвертый член: $5a^2bcb = 5 \cdot a^2 \cdot (b \cdot b) \cdot (c \cdot c) = 5a^2b^2c^2$.

После этого преобразования многочлен принимает вид: $2a^2b^2c - 3ab^3c + 4ab^3c + 5a^2b^2c^2$.

Шаг 2: Найдем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются члены $-3ab^3c$ и $4ab^3c$, так как они имеют одинаковую буквенную часть $ab^3c$. Сложим их коэффициенты: $(-3 + 4)ab^3c = 1 \cdot ab^3c = ab^3c$.

Остальные члены, $2a^2b^2c$ и $5a^2b^2c^2$, не имеют подобных, так как их буквенные части ($a^2b^2c$ и $a^2b^2c^2$) различны.

Подставив результат сложения подобных членов обратно в многочлен, получим его стандартный вид: $2a^2b^2c + ab^3c + 5a^2b^2c^2$.

Для финальной записи члены многочлена часто располагают в порядке убывания их степени (сумма показателей степеней всех переменных в члене).
Степень члена $5a^2b^2c^2$ равна $2+2+2=6$.
Степень члена $2a^2b^2c$ равна $2+2+1=5$.
Степень члена $ab^3c$ равна $1+3+1=5$.
Таким образом, упорядоченный многочлен выглядит так: $5a^2b^2c^2 + 2a^2b^2c + ab^3c$.

Ответ: $5a^2b^2c^2 + 2a^2b^2c + ab^3c$.

3. Если $p(x;y) = 3x^2y - 2xy^2 + 2x - 3y$, то чему равно $p(1; -1)$?

Для того чтобы найти значение выражения $p(1; -1)$, необходимо подставить значения $x=1$ и $y=-1$ в многочлен $p(x; y) = 3x^2y - 2xy^2 + 2x - 3y$.

Подставляем заданные значения в выражение:

$p(1; -1) = 3 \cdot (1)^2 \cdot (-1) - 2 \cdot (1) \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (1) - 3 \cdot (-1)$

Теперь последовательно вычислим значение каждого слагаемого:

$3 \cdot (1)^2 \cdot (-1) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3$

$- 2 \cdot (1) \cdot (-1)^2 = -2 \cdot 1 \cdot 1 = -2$

$2 \cdot (1) = 2$

$- 3 \cdot (-1) = 3$

Сложим полученные результаты:

$p(1; -1) = -3 - 2 + 2 + 3$

Суммируя числа, получаем:

$p(1; -1) = 0$

Ответ: $0$

31.11 Лодка плыла 6 ч по течению реки, а затем 4 ч против течения. Найдите собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч, а всего лодкой пройдено расстояние 126 км.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.

Из условия известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается из собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки по течению составляет $v_{по~течению} = (x + 3)$ км/ч.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки против течения составляет $v_{против~течения} = (x - 3)$ км/ч.

Лодка плыла 6 часов по течению. За это время она прошла расстояние $S_1 = v_{по~течению} \cdot t_1 = 6 \cdot (x + 3)$ км.

Затем лодка плыла 4 часа против течения и прошла расстояние $S_2 = v_{против~течения} \cdot t_2 = 4 \cdot (x - 3)$ км.

Общее пройденное расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения, и по условию составляет 126 км. Составим уравнение:

$S_1 + S_2 = 126$

$6(x + 3) + 4(x - 3) = 126$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$6x + 18 + 4x - 12 = 126$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(6x + 4x) + (18 - 12) = 126$

$10x + 6 = 126$

Перенесем число 6 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$10x = 126 - 6$

$10x = 120$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10:

$x = \frac{120}{10}$

$x = 12$

Следовательно, собственная скорость лодки равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

31.12 От посёлка до станции велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а возвращался со скоростью 15 км/ч, поэтому он затратил на обратный путь на 1 ч меньше. Найдите расстояние от посёлка до станции.

Для решения этой задачи обозначим искомое расстояние от посёлка до станции переменной $S$ (в километрах).

Скорость велосипедиста на пути от посёлка до станции составляла $v_1 = 10$ км/ч. Время, затраченное на этот путь, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$. Следовательно, время $t_1$, затраченное на путь до станции, равно:$t_1 = \frac{S}{10}$ часов.

На обратном пути скорость велосипедиста была $v_2 = 15$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, $t_2$, соответственно, равно:$t_2 = \frac{S}{15}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь велосипедист затратил на 1 час меньше. Это означает, что разница между временем пути до станции и временем обратного пути составляет 1 час. Составим уравнение:$t_1 - t_2 = 1$.

Теперь подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:$\frac{S}{10} - \frac{S}{15} = 1$.

Для решения полученного уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 — это 30.$\frac{3 \cdot S}{30} - \frac{2 \cdot S}{30} = 1$.

Выполним вычитание дробей:$\frac{3S - 2S}{30} = 1$,$\frac{S}{30} = 1$.

Отсюда находим значение $S$:$S = 30 \cdot 1 = 30$.Таким образом, расстояние от посёлка до станции составляет 30 км.

Для уверенности выполним проверку. Время в пути до станции: $t_1 = \frac{30 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 3$ часа. Время на обратном пути: $t_2 = \frac{30 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 2$ часа. Разница во времени: $3 - 2 = 1$ час, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 30 км.

31.13 Катер плыл 4 ч по течению реки и 3 ч против течения, пройдя за это время расстояние 93 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость катера, которую нам необходимо найти, равна $x$ км/ч.

Скорость течения реки дана в условии и составляет 2 км/ч.

Когда катер плывет по течению, его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения. Следовательно, скорость катера по течению равна $(x + 2)$ км/ч.

Когда катер плывет против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. Следовательно, скорость катера против течения равна $(x - 2)$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

Катер плыл 4 часа по течению, значит, он прошел расстояние $S_1 = 4 \cdot (x + 2)$ км.

Катер плыл 3 часа против течения, значит, он прошел расстояние $S_2 = 3 \cdot (x - 2)$ км.

Общее расстояние, пройденное катером, равно сумме расстояний по течению и против течения: $S_{общ} = S_1 + S_2$. По условию, это расстояние составляет 93 км.

Составим уравнение, исходя из условия задачи:

$4(x + 2) + 3(x - 2) = 93$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4x + 4 \cdot 2 + 3x - 3 \cdot 2 = 93$

$4x + 8 + 3x - 6 = 93$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4x + 3x) + (8 - 6) = 93$

$7x + 2 = 93$

Перенесем число 2 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$7x = 93 - 2$

$7x = 91$

Разделим обе части уравнения на 7, чтобы найти $x$:

$x = \frac{91}{7}$

$x = 13$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 13 км/ч.

Ответ: 13 км/ч.

Выполните действия:

31.14 а) $14a \cdot \frac{a+2}{7} + 25a^2 \cdot \frac{4-3a}{5};$

б) $3k^2 \cdot \frac{5k^2-4}{0,1} + 5k \cdot \frac{7k^3-3k}{0,5};$

в) $24b^3 \cdot \frac{b^2+b-1}{6} + 26b^2 \cdot \frac{b^3-3b^2+4}{13};$

г) $8a \cdot \frac{13a^3-12a^2+5}{0,4} - 9a^2 \cdot \frac{4a^2+12a-1}{0,3}.$

а) Чтобы выполнить действия в выражении $14a \cdot \frac{a+2}{7} + 25a^2 \cdot \frac{4-3a}{5}$, сначала упростим каждое слагаемое отдельно.
1. Упростим первое слагаемое: $14a \cdot \frac{a+2}{7}$. Мы можем сократить множитель $14a$ и знаменатель $7$:
$\frac{14a}{7} \cdot (a+2) = 2a \cdot (a+2)$
Теперь раскроем скобки, умножив $2a$ на каждый член многочлена $a+2$:
$2a \cdot a + 2a \cdot 2 = 2a^2 + 4a$
2. Упростим второе слагаемое: $25a^2 \cdot \frac{4-3a}{5}$. Сократим $25a^2$ и $5$:
$\frac{25a^2}{5} \cdot (4-3a) = 5a^2 \cdot (4-3a)$
Раскроем скобки, умножив $5a^2$ на каждый член многочлена $4-3a$:
$5a^2 \cdot 4 - 5a^2 \cdot 3a = 20a^2 - 15a^3$
3. Сложим полученные выражения и приведем подобные члены:
$(2a^2 + 4a) + (20a^2 - 15a^3) = -15a^3 + (2a^2 + 20a^2) + 4a = -15a^3 + 22a^2 + 4a$
Ответ: $-15a^3 + 22a^2 + 4a$

б) Чтобы выполнить действия в выражении $3k^2 \cdot \frac{5k^2-4}{0,1} + 5k \cdot \frac{7k^3-3k}{0,5}$, мы заменим деление на десятичную дробь умножением.
1. Упростим первое слагаемое: $3k^2 \cdot \frac{5k^2-4}{0,1}$. Деление на $0,1$ эквивалентно умножению на $10$:
$3k^2 \cdot 10 \cdot (5k^2-4) = 30k^2 \cdot (5k^2-4)$
Раскроем скобки:
$30k^2 \cdot 5k^2 - 30k^2 \cdot 4 = 150k^4 - 120k^2$
2. Упростим второе слагаемое: $5k \cdot \frac{7k^3-3k}{0,5}$. Деление на $0,5$ эквивалентно умножению на $2$:
$5k \cdot 2 \cdot (7k^3-3k) = 10k \cdot (7k^3-3k)$
Раскроем скобки:
$10k \cdot 7k^3 - 10k \cdot 3k = 70k^4 - 30k^2$
3. Сложим полученные многочлены и приведем подобные члены:
$(150k^4 - 120k^2) + (70k^4 - 30k^2) = (150k^4 + 70k^4) + (-120k^2 - 30k^2) = 220k^4 - 150k^2$
Ответ: $220k^4 - 150k^2$

в) Выполним действия в выражении $24b^3 \cdot \frac{b^2+b-1}{6} + 26b^2 \cdot \frac{b^3-3b^2+4}{13}$.
1. Упростим первое слагаемое $24b^3 \cdot \frac{b^2+b-1}{6}$. Сократим $24b^3$ и $6$:
$\frac{24b^3}{6} \cdot (b^2+b-1) = 4b^3 \cdot (b^2+b-1)$
Раскроем скобки:
$4b^3 \cdot b^2 + 4b^3 \cdot b - 4b^3 \cdot 1 = 4b^5 + 4b^4 - 4b^3$
2. Упростим второе слагаемое $26b^2 \cdot \frac{b^3-3b^2+4}{13}$. Сократим $26b^2$ и $13$:
$\frac{26b^2}{13} \cdot (b^3-3b^2+4) = 2b^2 \cdot (b^3-3b^2+4)$
Раскроем скобки:
$2b^2 \cdot b^3 - 2b^2 \cdot 3b^2 + 2b^2 \cdot 4 = 2b^5 - 6b^4 + 8b^2$
3. Сложим полученные многочлены и приведем подобные члены:
$(4b^5 + 4b^4 - 4b^3) + (2b^5 - 6b^4 + 8b^2) = (4b^5+2b^5) + (4b^4-6b^4) - 4b^3 + 8b^2 = 6b^5 - 2b^4 - 4b^3 + 8b^2$
Ответ: $6b^5 - 2b^4 - 4b^3 + 8b^2$

г) Рассмотрим выражение $8a \cdot \frac{13a^3-12a^2+5}{0,4} - 9a^2 \cdot \frac{4a^2+12a-1}{0,3}$.
1. Упростим первое слагаемое $8a \cdot \frac{13a^3-12a^2+5}{0,4}$. Деление на $0,4$ эквивалентно умножению на $2,5$ (так как $1/0,4 = 10/4 = 2,5$):
$8a \cdot 2,5 \cdot (13a^3-12a^2+5) = 20a \cdot (13a^3-12a^2+5)$
Раскроем скобки:
$20a \cdot 13a^3 - 20a \cdot 12a^2 + 20a \cdot 5 = 260a^4 - 240a^3 + 100a$
2. Упростим вычитаемое $- 9a^2 \cdot \frac{4a^2+12a-1}{0,3}$. Деление на $0,3$ эквивалентно умножению на $\frac{10}{3}$:
$-9a^2 \cdot \frac{10}{3} \cdot (4a^2+12a-1) = -30a^2 \cdot (4a^2+12a-1)$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед всем выражением:
$-30a^2 \cdot 4a^2 - 30a^2 \cdot 12a - 30a^2 \cdot (-1) = -120a^4 - 360a^3 + 30a^2$
3. Выполним сложение полученных многочленов:
$(260a^4 - 240a^3 + 100a) + (-120a^4 - 360a^3 + 30a^2)$
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(260a^4 - 120a^4) + (-240a^3 - 360a^3) + 30a^2 + 100a = 140a^4 - 600a^3 + 30a^2 + 100a$
Ответ: $140a^4 - 600a^3 + 30a^2 + 100a$

31.15 a) $18a^2 \cdot \frac{a^2 - 3a + 1}{9} - 2a \cdot \frac{a^3 - 3a^2 + a}{0.4} + a^4 - 3a^3 + a^2;$

б) $12x \cdot \frac{x+y}{6} - 27y \cdot \frac{2x-y}{9} - y(y+1);$

в) $33c^3 \cdot \frac{c+1}{11} - 10c \cdot \frac{c^3 - 5c^2 + c}{5} + c^4 - 3c;$

г) $28p^2 \cdot \frac{p^2 + 5p - 1}{0.7} - 3p \cdot \frac{p^3 + 5p^2 - p}{0.1} + 2p^4 + 10p^3 - 2p^2.$

а) $18a^2 \cdot \frac{a^2 - 3a + 1}{9} - 2a \cdot \frac{a^3 - 3a^2 + a}{0,4} + a^4 - 3a^3 + a^2$
Чтобы упростить выражение, выполним действия поочередно.
1. Упростим первое слагаемое: $18a^2 \cdot \frac{a^2 - 3a + 1}{9} = \frac{18}{9}a^2(a^2 - 3a + 1) = 2a^2(a^2 - 3a + 1) = 2a^4 - 6a^3 + 2a^2$.
2. Упростим второе слагаемое. Заметим, что $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда:
$-2a \cdot \frac{a^3 - 3a^2 + a}{0,4} = -2a \cdot \frac{a^3 - 3a^2 + a}{2/5} = -2a \cdot \frac{5(a^3 - 3a^2 + a)}{2} = -a \cdot 5(a^3 - 3a^2 + a) = -5a(a^3 - 3a^2 + a) = -5a^4 + 15a^3 - 5a^2$.
3. Теперь соберем все слагаемые вместе и приведем подобные члены:
$(2a^4 - 6a^3 + 2a^2) + (-5a^4 + 15a^3 - 5a^2) + (a^4 - 3a^3 + a^2) =$
$= (2a^4 - 5a^4 + a^4) + (-6a^3 + 15a^3 - 3a^3) + (2a^2 - 5a^2 + a^2) = -2a^4 + 6a^3 - 2a^2$.
Ответ: $-2a^4 + 6a^3 - 2a^2$.

б) $12x \cdot \frac{x + y}{6} - 27y \cdot \frac{2x - y}{9} - y(y+1)$
Упростим выражение по частям.
1. $12x \cdot \frac{x+y}{6} = \frac{12}{6}x(x+y) = 2x(x+y) = 2x^2 + 2xy$.
2. $-27y \cdot \frac{2x-y}{9} = -\frac{27}{9}y(2x-y) = -3y(2x-y) = -6xy + 3y^2$.
3. $-y(y+1) = -y^2 - y$.
4. Сложим все части и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 2xy - 6xy + 3y^2 - y^2 - y = 2x^2 - 4xy + 2y^2 - y$.
Ответ: $2x^2 - 4xy + 2y^2 - y$.

в) $33c^3 \cdot \frac{c+1}{11} - 10c \cdot \frac{c^3 - 5c^2 + c}{5} + c^4 - 3c$
Упростим выражение по частям.
1. $33c^3 \cdot \frac{c+1}{11} = \frac{33}{11}c^3(c+1) = 3c^3(c+1) = 3c^4 + 3c^3$.
2. $-10c \cdot \frac{c^3 - 5c^2 + c}{5} = -\frac{10}{5}c(c^3 - 5c^2 + c) = -2c(c^3 - 5c^2 + c) = -2c^4 + 10c^3 - 2c^2$.
3. Сложим все части и приведем подобные члены:
$(3c^4 + 3c^3) + (-2c^4 + 10c^3 - 2c^2) + c^4 - 3c =$
$= (3c^4 - 2c^4 + c^4) + (3c^3 + 10c^3) - 2c^2 - 3c = 2c^4 + 13c^3 - 2c^2 - 3c$.
Ответ: $2c^4 + 13c^3 - 2c^2 - 3c$.

г) $28p^2 \cdot \frac{p^2 + 5p - 1}{0,7} - 3p \cdot \frac{p^3 + 5p^2 - p}{0,1} + 2p^4 + 10p^3 - 2p^2$
Упростим выражение по частям.
1. Упростим первое слагаемое: $28p^2 \cdot \frac{p^2 + 5p - 1}{0,7} = \frac{28}{0,7}p^2(p^2 + 5p - 1) = 40p^2(p^2 + 5p - 1) = 40p^4 + 200p^3 - 40p^2$.
2. Упростим второе слагаемое: $-3p \cdot \frac{p^3 + 5p^2 - p}{0,1} = -\frac{3}{0,1}p(p^3 + 5p^2 - p) = -30p(p^3 + 5p^2 - p) = -30p^4 - 150p^3 + 30p^2$.
3. Сложим все части и приведем подобные члены:
$(40p^4 + 200p^3 - 40p^2) + (-30p^4 - 150p^3 + 30p^2) + (2p^4 + 10p^3 - 2p^2) =$
$= (40p^4 - 30p^4 + 2p^4) + (200p^3 - 150p^3 + 10p^3) + (-40p^2 + 30p^2 - 2p^2) = 12p^4 + 60p^3 - 12p^2$.
Ответ: $12p^4 + 60p^3 - 12p^2$.