Страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения трёхчлена на одночлен.

Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Это правило основывается на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое в общем виде записывается так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

В общем случае, если у нас есть многочлен $P = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ и одночлен $M$, то их произведение находится по формуле:
$M \cdot P = M \cdot (A_1 + A_2 + \dots + A_n) = M \cdot A_1 + M \cdot A_2 + \dots + M \cdot A_n$.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения трёхчлена на одночлен.

Рассмотрим пример умножения трёхчлена (многочлена с тремя членами) $4x^2 - 7xy + 2y^2$ на одночлен (многочлен с одним членом) $3x$.

Применим правило: умножим одночлен $3x$ на каждый член трёхчлена $4x^2 - 7xy + 2y^2$ поочерёдно.
$(3x) \cdot (4x^2 - 7xy + 2y^2)$

1. Умножим $3x$ на первый член $4x^2$:
$(3x) \cdot (4x^2) = (3 \cdot 4) \cdot (x \cdot x^2) = 12x^3$

2. Умножим $3x$ на второй член $-7xy$:
$(3x) \cdot (-7xy) = (3 \cdot -7) \cdot (x \cdot x) \cdot y = -21x^2y$

3. Умножим $3x$ на третий член $2y^2$:
$(3x) \cdot (2y^2) = (3 \cdot 2) \cdot x \cdot y^2 = 6xy^2$

4. Сложим полученные произведения:
$12x^3 + (-21x^2y) + 6xy^2 = 12x^3 - 21x^2y + 6xy^2$

Таким образом, весь процесс выглядит так:
$(3x) \cdot (4x^2 - 7xy + 2y^2) = (3x) \cdot (4x^2) + (3x) \cdot (-7xy) + (3x) \cdot (2y^2) = 12x^3 - 21x^2y + 6xy^2$.

Ответ: $(3x) \cdot (4x^2 - 7xy + 2y^2) = 12x^3 - 21x^2y + 6xy^2$.

2. Всегда ли задание представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена является корректным?

Вопрос о корректности данного задания можно трактовать по-разному, и ответ будет зависеть от этой трактовки.

С одной стороны, с чисто формальной точки зрения, задание "представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена" является всегда корректным. Это объясняется тем, что любой многочлен $P$ можно представить в виде произведения $1 \cdot P$. В данной записи число $1$ является одночленом (это константа, или одночлен нулевой степени), а $P$ — это исходный многочлен. Поскольку такое представление можно найти для любого многочлена без исключения, то задание формально всегда выполнимо, а значит, корректно. Например, для многочлена $5x + 3y$ такое представление имеет вид $1 \cdot (5x + 3y)$.

С другой стороны, в школьном курсе алгебры и на практике под таким заданием обычно понимают нахождение нетривиального разложения. То есть, требуется вынести за скобки общий множитель, который не является просто единицей. Цель такого действия — упростить выражение, выявив его структуру, или подготовить его для дальнейших преобразований (например, для сокращения дроби). Если трактовать задание именно так, то оно является корректным не всегда.

Нетривиальное представление многочлена в виде произведения многочлена и одночлена возможно только в том случае, если все одночлены, из которых состоит исходный многочлен, имеют общий делитель, отличный от 1. Этот общий делитель (наибольший общий делитель, НОД) и будет тем одночленом, который выносится за скобки.

Рассмотрим пример, когда такое нетривиальное разложение существует. Для многочлена $12x^3y - 18x^2y^2$ мы можем найти НОД его членов. НОД коэффициентов 12 и 18 равен 6. Общие переменные в наименьших степенях — это $x^2$ и $y$. Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки — это одночлен $6x^2y$. Разложение выглядит так: $12x^3y - 18x^2y^2 = 6x^2y(2x - 3y)$.

А теперь рассмотрим пример, когда нетривиальное разложение невозможно. Возьмем многочлен $7a^2 + 5b + 3$. Коэффициенты 7, 5 и 3 являются взаимно простыми числами (их НОД равен 1). Общих переменных у всех трех членов нет. Следовательно, единственный общий делитель для всех членов этого многочлена — это 1. Единственное возможное представление в требуемом виде — это тривиальное разложение $1 \cdot (7a^2 + 5b + 3)$. В этом случае говорят, что у многочлена нет общего множителя (кроме 1), который можно было бы вынести за скобки.

Таким образом, если под "корректностью" задания понимать возможность найти нетривиальное, практически полезное решение, то задание корректно не всегда. Оно корректно только для тех многочленов, у которых НОД всех его членов является одночленом, отличным от константы 1.

Ответ: Нет, задание корректно не всегда. Оно является корректным (в смысле наличия нетривиального решения) только в том случае, если все члены, составляющие многочлен, имеют общий делитель, отличный от 1. Если такого общего делителя нет, то единственным возможным представлением является тривиальное $P = 1 \cdot P$, которое обычно не является целью такого задания.

33.3 a) $(7 - a)^2$;

б) $(9 + b)^2$;

в) $(4 + n)^2$;

г) $(12 - p)^2$.

а) Чтобы представить выражение $(7 - a)^2$ в виде многочлена, используем формулу сокращенного умножения — квадрат разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 7$ и $y = a$.
Подставим значения в формулу:
$(7 - a)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot a + a^2 = 49 - 14a + a^2$.
Ответ: $49 - 14a + a^2$.

б) Чтобы представить выражение $(9 + b)^2$ в виде многочлена, используем формулу сокращенного умножения — квадрат суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 9$ и $y = b$.
Подставим значения в формулу:
$(9 + b)^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot b + b^2 = 81 + 18b + b^2$.
Ответ: $81 + 18b + b^2$.

в) Чтобы представить выражение $(4 + n)^2$ в виде многочлена, используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 4$ и $y = n$.
Подставим значения в формулу:
$(4 + n)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot n + n^2 = 16 + 8n + n^2$.
Ответ: $16 + 8n + n^2$.

г) Чтобы представить выражение $(12 - p)^2$ в виде многочлена, используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 12$ и $y = p$.
Подставим значения в формулу:
$(12 - p)^2 = 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot p + p^2 = 144 - 24p + p^2$.
Ответ: $144 - 24p + p^2$.

33.4 а) $(-x+1)^2$;

б) $(-z-3)^2$;

в) $(-n+8)^2$;

г) $(-m-10)^2$.

а) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $(-x + 1)^2$, можно представить его в виде $(1 - x)^2$ и воспользоваться формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим формулу, где $a = 1$ и $b = x$:

$(-x + 1)^2 = (1 - x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$.

Запишем результат в стандартном виде многочлена, расположив члены по убыванию степеней переменной.

Ответ: $x^2 - 2x + 1$.

б) В выражении $(-z - 3)^2$ вынесем за скобки общий множитель $-1$. Так как $(-a)^2 = a^2$, то $(- (z + 3))^2 = (z + 3)^2$.

$(-z - 3)^2 = (-(z + 3))^2 = (z + 3)^2$.

Теперь применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = z$ и $b = 3$.

$(z + 3)^2 = z^2 + 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2 = z^2 + 6z + 9$.

Ответ: $z^2 + 6z + 9$.

в) Выражение $(-n + 8)^2$ можно записать как $(8 - n)^2$. Для его преобразования используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим $a = 8$ и $b = n$:

$(-n + 8)^2 = (8 - n)^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot n + n^2 = 64 - 16n + n^2$.

Запишем результат в стандартном виде.

Ответ: $n^2 - 16n + 64$.

г) В выражении $(-m - 10)^2$ можно вынести за скобки $-1$.

$(-m - 10)^2 = (-(m + 10))^2 = (m + 10)^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = m$ и $b = 10$.

$(m + 10)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 10 + 10^2 = m^2 + 20m + 100$.

Ответ: $m^2 + 20m + 100$.

33.5 а) $(2a + 1)^2;$

б) $(3c - 2)^2;$

в) $(6x - 3)^2;$

г) $(7y + 6)^2.$

а) Для того чтобы возвести в квадрат выражение $(2a + 1)$, мы используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае, $x = 2a$ и $y = 1$.
Подставляем наши значения в формулу:
$(2a + 1)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1^2$
Выполняем вычисления:
$(2a)^2 = 4a^2$
$2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$
$1^2 = 1$
Собираем все вместе:
$4a^2 + 4a + 1$
Ответ: $4a^2 + 4a + 1$.

б) Для выражения $(3c - 2)^2$ применяется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = 3c$ и $y = 2$.
Подставляем значения в формулу:
$(3c - 2)^2 = (3c)^2 - 2 \cdot (3c) \cdot 2 + 2^2$
Выполняем вычисления:
$(3c)^2 = 9c^2$
$2 \cdot 3c \cdot 2 = 12c$
$2^2 = 4$
Собираем все вместе:
$9c^2 - 12c + 4$
Ответ: $9c^2 - 12c + 4$.

в) Для выражения $(6x - 3)^2$ также используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В этом случае $x = 6x$ и $y = 3$.
Подставляем значения в формулу:
$(6x - 3)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot (6x) \cdot 3 + 3^2$
Выполняем вычисления:
$(6x)^2 = 36x^2$
$2 \cdot 6x \cdot 3 = 36x$
$3^2 = 9$
Собираем все вместе:
$36x^2 - 36x + 9$
Ответ: $36x^2 - 36x + 9$.

г) Для выражения $(7y + 6)^2$ снова используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x = 7y$ и $y = 6$.
Подставляем значения в формулу:
$(7y + 6)^2 = (7y)^2 + 2 \cdot (7y) \cdot 6 + 6^2$
Выполняем вычисления:
$(7y)^2 = 49y^2$
$2 \cdot 7y \cdot 6 = 84y$
$6^2 = 36$
Собираем все вместе:
$49y^2 + 84y + 36$
Ответ: $49y^2 + 84y + 36$.

33.6 а) $(8x + 3y)^2$;

Б) $(6m - 4n)^2$;

В) $(9p - 2q)^2$;

Г) $(10z + 3t)^2$.

а) Для того чтобы возвести в квадрат сумму $(8x + 3y)$, мы используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В этом выражении $a = 8x$ и $b = 3y$.

Подставим эти значения в формулу:

$(8x + 3y)^2 = (8x)^2 + 2 \cdot (8x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 8^2x^2 + (2 \cdot 8 \cdot 3)xy + 3^2y^2 = 64x^2 + 48xy + 9y^2$.

Ответ: $64x^2 + 48xy + 9y^2$.

б) Для того чтобы возвести в квадрат разность $(6m - 4n)$, мы используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

В этом выражении $a = 6m$ и $b = 4n$.

Подставим эти значения в формулу:

$(6m - 4n)^2 = (6m)^2 - 2 \cdot (6m) \cdot (4n) + (4n)^2 = 6^2m^2 - (2 \cdot 6 \cdot 4)mn + 4^2n^2 = 36m^2 - 48mn + 16n^2$.

Ответ: $36m^2 - 48mn + 16n^2$.

в) Для того чтобы возвести в квадрат разность $(9p - 2q)$, мы снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

В этом выражении $a = 9p$ и $b = 2q$.

Подставим эти значения в формулу:

$(9p - 2q)^2 = (9p)^2 - 2 \cdot (9p) \cdot (2q) + (2q)^2 = 9^2p^2 - (2 \cdot 9 \cdot 2)pq + 2^2q^2 = 81p^2 - 36pq + 4q^2$.

Ответ: $81p^2 - 36pq + 4q^2$.

г) Для того чтобы возвести в квадрат сумму $(10z + 3t)$, мы снова используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В этом выражении $a = 10z$ и $b = 3t$.

Подставим эти значения в формулу:

$(10z + 3t)^2 = (10z)^2 + 2 \cdot (10z) \cdot (3t) + (3t)^2 = 10^2z^2 + (2 \cdot 10 \cdot 3)zt + 3^2t^2 = 100z^2 + 60zt + 9t^2$.

Ответ: $100z^2 + 60zt + 9t^2$.

33.7 a) $(-3a + 5x)^2$;

Б) $(-6y - 2z)^2$;

В) $(-3m + 4n)^2$;

Г) $(-12z - 3t)^2$.

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(-3a + 5x)^2$, применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В нашем случае первое слагаемое $x = -3a$, а второе $y = 5x$.

Выполним преобразование по формуле:

$(-3a + 5x)^2 = (-3a)^2 + 2 \cdot (-3a) \cdot (5x) + (5x)^2 = 9a^2 - 30ax + 25x^2$.

Ответ: $9a^2 - 30ax + 25x^2$.

б) Для выражения $(-6y - 2z)^2$ можно вынести за скобки общий множитель $-1$ и воспользоваться свойством, что $(-A)^2 = A^2$.

$(-6y - 2z)^2 = (-(6y + 2z))^2 = (6y + 2z)^2$.

Теперь применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = 6y$ и $y = 2z$.

$(6y + 2z)^2 = (6y)^2 + 2 \cdot (6y) \cdot (2z) + (2z)^2 = 36y^2 + 24yz + 4z^2$.

Ответ: $36y^2 + 24yz + 4z^2$.

в) Для раскрытия скобок в выражении $(-3m + 4n)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. Здесь $x = -3m$ и $y = 4n$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

$(-3m + 4n)^2 = (-3m)^2 + 2 \cdot (-3m) \cdot (4n) + (4n)^2 = 9m^2 - 24mn + 16n^2$.

Ответ: $9m^2 - 24mn + 16n^2$.

г) В выражении $(-12z - 3t)^2$ вынесем за скобки $-1$, так как $(-A)^2 = A^2$.

$(-12z - 3t)^2 = (-(12z + 3t))^2 = (12z + 3t)^2$.

Далее используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = 12z$ и $y = 3t$.

$(12z + 3t)^2 = (12z)^2 + 2 \cdot (12z) \cdot (3t) + (3t)^2 = 144z^2 + 72zt + 9t^2$.

Ответ: $144z^2 + 72zt + 9t^2$.

33.8 а) $(0,2x - 0,5a)^2$;

б) $(\frac{1}{4}m + 3n)^2$;

в) $(6a - \frac{1}{6})^2$;

г) $(10c + 0,1y)^2$.

а) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $(0,2x - 0,5a)^2$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном выражении $A = 0,2x$, а $B = 0,5a$.

Подставим эти значения в формулу:

$(0,2x - 0,5a)^2 = (0,2x)^2 - 2 \cdot (0,2x) \cdot (0,5a) + (0,5a)^2$

Теперь вычислим значение каждого члена полученного выражения:

$(0,2x)^2 = 0,2^2 \cdot x^2 = 0,04x^2$

$2 \cdot (0,2x) \cdot (0,5a) = (2 \cdot 0,2 \cdot 0,5) \cdot x \cdot a = 0,2xa$

$(0,5a)^2 = 0,5^2 \cdot a^2 = 0,25a^2$

Соединим все члены, чтобы получить итоговый многочлен:

$0,04x^2 - 0,2xa + 0,25a^2$

Ответ: $0,04x^2 - 0,2xa + 0,25a^2$

б) Для раскрытия скобок в выражении $(\frac{1}{4}m + 3n)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Здесь $A = \frac{1}{4}m$ и $B = 3n$.

Подставим значения в формулу:

$(\frac{1}{4}m + 3n)^2 = (\frac{1}{4}m)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{4}m) \cdot (3n) + (3n)^2$

Вычислим каждый член:

$(\frac{1}{4}m)^2 = (\frac{1}{4})^2 \cdot m^2 = \frac{1}{16}m^2$

$2 \cdot (\frac{1}{4}m) \cdot (3n) = (2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 3) \cdot m \cdot n = \frac{6}{4}mn = \frac{3}{2}mn$

$(3n)^2 = 3^2 \cdot n^2 = 9n^2$

Собираем все члены вместе:

$\frac{1}{16}m^2 + \frac{3}{2}mn + 9n^2$

Ответ: $\frac{1}{16}m^2 + \frac{3}{2}mn + 9n^2$

в) Для выражения $(6a - \frac{1}{6})^2$ применим формулу квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В этом случае $A = 6a$ и $B = \frac{1}{6}$.

Подставим в формулу:

$(6a - \frac{1}{6})^2 = (6a)^2 - 2 \cdot (6a) \cdot (\frac{1}{6}) + (\frac{1}{6})^2$

Вычислим каждый член:

$(6a)^2 = 6^2 \cdot a^2 = 36a^2$

$2 \cdot (6a) \cdot (\frac{1}{6}) = (2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}) \cdot a = 2a$

$(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$

Соединяем члены многочлена:

$36a^2 - 2a + \frac{1}{36}$

Ответ: $36a^2 - 2a + \frac{1}{36}$

г) В выражении $(10c + 0,1y)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Здесь $A = 10c$ и $B = 0,1y$.

Подставляем в формулу:

$(10c + 0,1y)^2 = (10c)^2 + 2 \cdot (10c) \cdot (0,1y) + (0,1y)^2$

Вычисляем каждый член:

$(10c)^2 = 10^2 \cdot c^2 = 100c^2$

$2 \cdot (10c) \cdot (0,1y) = (2 \cdot 10 \cdot 0,1) \cdot c \cdot y = 2cy$

$(0,1y)^2 = 0,1^2 \cdot y^2 = 0,01y^2$

Собираем все члены вместе:

$100c^2 + 2cy + 0,01y^2$

Ответ: $100c^2 + 2cy + 0,01y^2$

33.9 а) $(x^2 + 1)^2$;

б) $(y^2 - 6)^2$;

в) $(q^2 + 8)^2$;

г) $(p^2 - 10)^2$.

а) Для того чтобы возвести в квадрат выражение $(x^2 + 1)^2$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае, $a = x^2$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$.
Ответ: $x^4 + 2x^2 + 1$.

б) Для того чтобы возвести в квадрат выражение $(y^2 - 6)^2$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае, $a = y^2$ и $b = 6$.
Подставим эти значения в формулу:
$(y^2 - 6)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 6 + 6^2 = y^4 - 12y^2 + 36$.
Ответ: $y^4 - 12y^2 + 36$.

в) Для того чтобы возвести в квадрат выражение $(q^2 + 8)^2$, воспользуемся той же формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном примере, $a = q^2$ и $b = 8$.
Подставим значения в формулу:
$(q^2 + 8)^2 = (q^2)^2 + 2 \cdot q^2 \cdot 8 + 8^2 = q^4 + 16q^2 + 64$.
Ответ: $q^4 + 16q^2 + 64$.

г) Для того чтобы возвести в квадрат выражение $(p^2 - 10)^2$, снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = p^2$ и $b = 10$.
Подставим значения в формулу:
$(p^2 - 10)^2 = (p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot 10 + 10^2 = p^4 - 20p^2 + 100$.
Ответ: $p^4 - 20p^2 + 100$.

33.10 a) $(a^2 + 3x)^2$;

б) $(b^2 - 5y)^2$;

в) $(r^2 + 4s)^2$;

г) $(m^2 - 6n)^2$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Формула квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

а) Раскроем скобки в выражении $(a^2 + 3x)^2$, используя формулу квадрата суммы. В данном случае $A = a^2$ и $B = 3x$.

Подставим эти значения в формулу:

$(a^2 + 3x)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 3x + (3x)^2$

Теперь выполним вычисления для каждого члена выражения:

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$

$2 \cdot a^2 \cdot 3x = 6a^2x$

$(3x)^2 = 3^2x^2 = 9x^2$

Соединив все члены, получаем итоговый многочлен:

$a^4 + 6a^2x + 9x^2$

Ответ: $a^4 + 6a^2x + 9x^2$

б) Раскроем скобки в выражении $(b^2 - 5y)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $A = b^2$ и $B = 5y$.

Подставим значения в формулу:

$(b^2 - 5y)^2 = (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 5y + (5y)^2$

Упростим каждый член выражения:

$(b^2)^2 = b^{2 \cdot 2} = b^4$

$2 \cdot b^2 \cdot 5y = 10b^2y$

$(5y)^2 = 5^2y^2 = 25y^2$

В результате получаем:

$b^4 - 10b^2y + 25y^2$

Ответ: $b^4 - 10b^2y + 25y^2$

в) Раскроем скобки в выражении $(r^2 + 4s)^2$, используя формулу квадрата суммы. В этом случае $A = r^2$ и $B = 4s$.

Подставляем в формулу:

$(r^2 + 4s)^2 = (r^2)^2 + 2 \cdot r^2 \cdot 4s + (4s)^2$

Выполним упрощение каждого члена:

$(r^2)^2 = r^{2 \cdot 2} = r^4$

$2 \cdot r^2 \cdot 4s = 8r^2s$

$(4s)^2 = 4^2s^2 = 16s^2$

Собираем все члены вместе:

$r^4 + 8r^2s + 16s^2$

Ответ: $r^4 + 8r^2s + 16s^2$

г) Раскроем скобки в выражении $(m^2 - 6n)^2$, используя формулу квадрата разности. Здесь $A = m^2$ и $B = 6n$.

Подставляем значения в формулу:

$(m^2 - 6n)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 6n + (6n)^2$

Упрощаем каждый член:

$(m^2)^2 = m^{2 \cdot 2} = m^4$

$2 \cdot m^2 \cdot 6n = 12m^2n$

$(6n)^2 = 6^2n^2 = 36n^2$

Итоговое выражение:

$m^4 - 12m^2n + 36n^2$

Ответ: $m^4 - 12m^2n + 36n^2$

33.11 a) $(c^2 + d^2)^2$;

б) $(m^2 - n^3)^2$;

В) $(z^2 + t^3)^2$;

Г) $(p^2 - q^2)^2$.

а) Чтобы представить выражение $(c^2 + d^2)^2$ в виде многочлена, используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном выражении $a = c^2$ и $b = d^2$.

Подставим эти значения в формулу:

$(c^2 + d^2)^2 = (c^2)^2 + 2 \cdot c^2 \cdot d^2 + (d^2)^2$

Применяя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:

$(c^2)^2 = c^{2 \cdot 2} = c^4$

$(d^2)^2 = d^{2 \cdot 2} = d^4$

Итоговое выражение:

$c^4 + 2c^2d^2 + d^4$

Ответ: $c^4 + 2c^2d^2 + d^4$

б) Для раскрытия скобок в выражении $(m^2 - n^3)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = m^2$ и $b = n^3$.

Подставим значения в формулу:

$(m^2 - n^3)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot n^3 + (n^3)^2$

Применяя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:

$(m^2)^2 = m^{2 \cdot 2} = m^4$

$(n^3)^2 = n^{3 \cdot 2} = n^6$

Таким образом, получаем многочлен:

$m^4 - 2m^2n^3 + n^6$

Ответ: $m^4 - 2m^2n^3 + n^6$

в) Чтобы представить выражение $(z^2 + t^3)^2$ в виде многочлена, используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В этом случае $a = z^2$ и $b = t^3$.

Подставляем в формулу:

$(z^2 + t^3)^2 = (z^2)^2 + 2 \cdot z^2 \cdot t^3 + (t^3)^2$

Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(z^2)^2 = z^{2 \cdot 2} = z^4$

$(t^3)^2 = t^{3 \cdot 2} = t^6$

Получаем следующий многочлен:

$z^4 + 2z^2t^3 + t^6$

Ответ: $z^4 + 2z^2t^3 + t^6$

г) Для раскрытия скобок в выражении $(p^2 - q^2)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = p^2$ и $b = q^2$.

Подставим значения в формулу:

$(p^2 - q^2)^2 = (p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot q^2 + (q^2)^2$

Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(p^2)^2 = p^{2 \cdot 2} = p^4$

$(q^2)^2 = q^{2 \cdot 2} = q^4$

В результате получаем:

$p^4 - 2p^2q^2 + q^4$

Ответ: $p^4 - 2p^2q^2 + q^4$

33.12 а) $(a^3 + 3b)^2$;

б) $(4x^2 - 3c)^2$;

в) $(5m^2 + 3n^2)^2$;

г) $(6p^2 - 8g^3)^2$.

Для решения данных задач необходимо преобразовать выражения в многочлены стандартного вида, используя формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а)

Чтобы возвести в квадрат сумму $(a^3 + 3b)$, воспользуемся формулой квадрата суммы. В данном случае первое слагаемое равно $a^3$, а второе $3b$.
$(a^3 + 3b)^2 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot (3b) + (3b)^2 = a^{3 \cdot 2} + 6a^3b + 9b^2 = a^6 + 6a^3b + 9b^2$.
Ответ: $a^6 + 6a^3b + 9b^2$.

б)

Чтобы возвести в квадрат разность $(4x^2 - 3c)$, воспользуемся формулой квадрата разности. Здесь уменьшаемое равно $4x^2$, а вычитаемое равно $3c$.
$(4x^2 - 3c)^2 = (4x^2)^2 - 2 \cdot (4x^2) \cdot (3c) + (3c)^2 = 16x^{2 \cdot 2} - 24x^2c + 9c^2 = 16x^4 - 24x^2c + 9c^2$.
Ответ: $16x^4 - 24x^2c + 9c^2$.

в)

Применим формулу квадрата суммы для выражения $(5m^2 + 3n^2)^2$. Первое слагаемое $5m^2$, второе слагаемое $3n^2$.
$(5m^2 + 3n^2)^2 = (5m^2)^2 + 2 \cdot (5m^2) \cdot (3n^2) + (3n^2)^2 = 25m^{2 \cdot 2} + 30m^2n^2 + 9n^{2 \cdot 2} = 25m^4 + 30m^2n^2 + 9n^4$.
Ответ: $25m^4 + 30m^2n^2 + 9n^4$.

г)

Применим формулу квадрата разности для выражения $(6p^2 - 8g^3)^2$. Здесь уменьшаемое $6p^2$, а вычитаемое $8g^3$.
$(6p^2 - 8g^3)^2 = (6p^2)^2 - 2 \cdot (6p^2) \cdot (8g^3) + (8g^3)^2 = 36p^{2 \cdot 2} - 96p^2g^3 + 64g^{3 \cdot 2} = 36p^4 - 96p^2g^3 + 64g^6$.
Ответ: $36p^4 - 96p^2g^3 + 64g^6$.

33.13 a) $(2\frac{1}{3}a - 1\frac{1}{14}b)^2$;

б) $(0,9x + 1\frac{13}{27}y)^2$;

в) $(-1,2x - 4\frac{1}{6}y)^2$;

г) $(-2,3a + 1\frac{2}{23}b)^2$.

а)

Чтобы возвести в квадрат выражение $(2\frac{1}{3}a - 1\frac{1}{14}b)^2$, воспользуемся формулой квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$(\frac{7}{3}a - \frac{15}{14}b)^2 = (\frac{7}{3}a)^2 - 2 \cdot (\frac{7}{3}a) \cdot (\frac{15}{14}b) + (\frac{15}{14}b)^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $(\frac{7}{3}a)^2 = \frac{7^2}{3^2}a^2 = \frac{49}{9}a^2 = 5\frac{4}{9}a^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot \frac{7}{3}a \cdot \frac{15}{14}b = \frac{2 \cdot 7 \cdot 15}{3 \cdot 14}ab = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 7}ab = 5ab$.

Квадрат второго члена: $(\frac{15}{14}b)^2 = \frac{15^2}{14^2}b^2 = \frac{225}{196}b^2 = 1\frac{29}{196}b^2$.

Собираем все вместе:

$(2\frac{1}{3}a - 1\frac{1}{14}b)^2 = 5\frac{4}{9}a^2 - 5ab + 1\frac{29}{196}b^2$.

Ответ: $5\frac{4}{9}a^2 - 5ab + 1\frac{29}{196}b^2$.

б)

Чтобы возвести в квадрат выражение $(0,9x + 1\frac{13}{27}y)^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби для точности вычислений:

$0,9 = \frac{9}{10}$

$1\frac{13}{27} = \frac{1 \cdot 27 + 13}{27} = \frac{40}{27}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$(\frac{9}{10}x + \frac{40}{27}y)^2 = (\frac{9}{10}x)^2 + 2 \cdot (\frac{9}{10}x) \cdot (\frac{40}{27}y) + (\frac{40}{27}y)^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $(\frac{9}{10}x)^2 = \frac{81}{100}x^2 = 0,81x^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot \frac{9}{10}x \cdot \frac{40}{27}y = \frac{2 \cdot 9 \cdot 40}{10 \cdot 27}xy = \frac{2 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 10}{10 \cdot 3 \cdot 9}xy = \frac{8}{3}xy = 2\frac{2}{3}xy$.

Квадрат второго члена: $(\frac{40}{27}y)^2 = \frac{40^2}{27^2}y^2 = \frac{1600}{729}y^2 = 2\frac{142}{729}y^2$.

Собираем все вместе:

$(0,9x + 1\frac{13}{27}y)^2 = 0,81x^2 + 2\frac{2}{3}xy + 2\frac{142}{729}y^2$.

Ответ: $0,81x^2 + 2\frac{2}{3}xy + 2\frac{142}{729}y^2$.

в)

Чтобы возвести в квадрат выражение $(-1,2x - 4\frac{1}{6}y)^2$, можно вынести минус за скобки: $(- (1,2x + 4\frac{1}{6}y))^2 = (1,2x + 4\frac{1}{6}y)^2$. Далее используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби:

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

Теперь подставим эти значения в выражение:

$(\frac{6}{5}x + \frac{25}{6}y)^2 = (\frac{6}{5}x)^2 + 2 \cdot (\frac{6}{5}x) \cdot (\frac{25}{6}y) + (\frac{25}{6}y)^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $(\frac{6}{5}x)^2 = \frac{36}{25}x^2 = 1,44x^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot \frac{6}{5}x \cdot \frac{25}{6}y = \frac{2 \cdot 6 \cdot 25}{5 \cdot 6}xy = 10xy$.

Квадрат второго члена: $(\frac{25}{6}y)^2 = \frac{25^2}{6^2}y^2 = \frac{625}{36}y^2 = 17\frac{13}{36}y^2$.

Собираем все вместе:

$(-1,2x - 4\frac{1}{6}y)^2 = 1,44x^2 + 10xy + 17\frac{13}{36}y^2$.

Ответ: $1,44x^2 + 10xy + 17\frac{13}{36}y^2$.

г)

Чтобы возвести в квадрат выражение $(-2,3a + 1\frac{2}{23}b)^2$, можно переставить слагаемые и использовать формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Выражение можно записать как $(1\frac{2}{23}b - 2,3a)^2$.

Преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби:

$1\frac{2}{23} = \frac{1 \cdot 23 + 2}{23} = \frac{25}{23}$

$2,3 = \frac{23}{10}$

Применяем формулу квадрата разности, для удобства расположим члены в стандартном порядке по переменной $a$:

$(1\frac{2}{23}b - 2,3a)^2 = (2,3a - 1\frac{2}{23}b)^2 = (2,3a)^2 - 2 \cdot (2,3a) \cdot (1\frac{2}{23}b) + (1\frac{2}{23}b)^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $(2,3a)^2 = (\frac{23}{10}a)^2 = \frac{529}{100}a^2 = 5,29a^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot \frac{23}{10}a \cdot \frac{25}{23}b = \frac{2 \cdot 23 \cdot 25}{10 \cdot 23}ab = \frac{50}{10}ab = 5ab$.

Квадрат второго члена: $(1\frac{2}{23}b)^2 = (\frac{25}{23}b)^2 = \frac{625}{529}b^2 = 1\frac{96}{529}b^2$.

Собираем все вместе:

$(-2,3a + 1\frac{2}{23}b)^2 = 5,29a^2 - 5ab + 1\frac{96}{529}b^2$.

Ответ: $5,29a^2 - 5ab + 1\frac{96}{529}b^2$.

Используя формулы для $(a \pm b)^2$, вычислите:

33.14 а) $79^2$;

б) $39^2$;

в) $59^2$;

г) $69^2$.

а)

Для вычисления $79^2$ используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого представим число 79 в виде разности $80 - 1$.

$79^2 = (80 - 1)^2 = 80^2 - 2 \cdot 80 \cdot 1 + 1^2 = 6400 - 160 + 1 = 6241$.

Ответ: 6241.

б)

Для вычисления $39^2$ используем формулу квадрата разности. Представим число 39 в виде разности $40 - 1$.

$39^2 = (40 - 1)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521$.

Ответ: 1521.

в)

Для вычисления $59^2$ используем формулу квадрата разности. Представим число 59 в виде разности $60 - 1$.

$59^2 = (60 - 1)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

Ответ: 3481.

г)

Для вычисления $69^2$ используем формулу квадрата разности. Представим число 69 в виде разности $70 - 1$.

$69^2 = (70 - 1)^2 = 70^2 - 2 \cdot 70 \cdot 1 + 1^2 = 4900 - 140 + 1 = 4761$.

Ответ: 4761.

33.15 a) $21^2$;

б) $31^2$;

в) $61^2$;

г) $91^2$.

а)

Чтобы вычислить $21^2$, можно представить число 21 в виде суммы $(20 + 1)$ и использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$21^2 = (20 + 1)^2 = 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1^2 = 400 + 40 + 1 = 441$.

Ответ: 441.

б)

Для вычисления $31^2$ представим число 31 как сумму $(30 + 1)$ и применим ту же формулу.

$31^2 = (30 + 1)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 1 + 1^2 = 900 + 60 + 1 = 961$.

Ответ: 961.

в)

Для вычисления $61^2$ представим число 61 как сумму $(60 + 1)$.

$61^2 = (60 + 1)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2 = 3600 + 120 + 1 = 3721$.

Ответ: 3721.

г)

Для вычисления $91^2$ представим число 91 как сумму $(90 + 1)$.

$91^2 = (90 + 1)^2 = 90^2 + 2 \cdot 90 \cdot 1 + 1^2 = 8100 + 180 + 1 = 8281$.

Ответ: 8281.