Страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Деление одночлена на одночлен.

Деление одночлена на одночлен

Деление одночлена на одночлен — это операция нахождения такого одночлена, который при умножении на делитель дает делимое. Чтобы выполнить деление, необходимо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя, а затем разделить степени переменных с одинаковыми основаниями.

Результатом деления одного одночлена на другой будет одночлен только в том случае, если:
1. Делитель не является нулевым одночленом.
2. В делителе нет переменных, которых нет в делимом.
3. Показатель степени каждой переменной в делителе не больше показателя степени той же переменной в делимом.

Алгоритм деления:
1. Найти частное числовых коэффициентов.
2. Для каждой переменной, входящей в делимое и делитель, найти частное их степеней, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.
3. Переменные, которые есть в делимом, но отсутствуют в делителе, перенести в результат без изменений.
4. Перемножить полученные результаты.

Пример 1

Выполнить деление одночлена $18x^4y^3$ на одночлен $3x^2y$.
Решение:
Запишем операцию деления: $(18x^4y^3) : (3x^2y)$.
1. Разделим коэффициенты: $18 : 3 = 6$.
2. Разделим степени переменной $x$: $x^4 : x^2 = x^{4-2} = x^2$.
3. Разделим степени переменной $y$: $y^3 : y^1 = y^{3-1} = y^2$.
4. Соединим результаты в один одночлен: $6x^2y^2$.
Проверим результат умножением: $(6x^2y^2) \cdot (3x^2y) = (6 \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y) = 18x^4y^3$. Результат верный.
Ответ: $6x^2y^2$

Пример 2

Выполнить деление: $-25a^8b^5c : (5a^3b^5)$.
Решение:
1. Деление коэффициентов: $-25 : 5 = -5$.
2. Деление переменных:
- Для $a$: $a^8 : a^3 = a^{8-3} = a^5$.
- Для $b$: $b^5 : b^5 = b^{5-5} = b^0 = 1$. (Переменная $b$ сокращается).
- Переменная $c$ есть только в делимом, поэтому она остается в частном.
3. Собираем итоговый одночлен: $-5 \cdot a^5 \cdot 1 \cdot c = -5a^5c$.
Ответ: $-5a^5c$

Пример 3

Разделить одночлен $\frac{3}{4}m^6n^9p^2$ на одночлен $\frac{1}{2}m^2n^3p^2$.
Решение:
1. Деление коэффициентов: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
2. Деление переменных:
- Для $m$: $m^6 : m^2 = m^{6-2} = m^4$.
- Для $n$: $n^9 : n^3 = n^{9-3} = n^6$.
- Для $p$: $p^2 : p^2 = p^{2-2} = p^0 = 1$.
3. Собираем результат: $1.5 \cdot m^4 \cdot n^6 \cdot 1 = 1.5m^4n^6$.
Ответ: $1.5m^4n^6$

2. Частота результата. Таблицы распределения частот.

Частота результата

В статистике, при проведении наблюдений, экспериментов или опросов, мы получаем некоторый набор данных. Каждый отдельный исход или значение в этом наборе называется результатом или вариантой.

Абсолютная частота (или просто частота) — это число, которое показывает, сколько раз конкретный результат встретился в серии наблюдений. Например, если мы 20 раз подбросили игральный кубик и цифра "6" выпала 3 раза, то абсолютная частота выпадения шестерки равна 3.

Относительная частота — это отношение абсолютной частоты результата к общему числу проведенных наблюдений (объему выборки). Она показывает, какая доля от общего числа наблюдений приходится на данный результат. Относительную частоту можно выражать в виде обыкновенной или десятичной дроби, а также в процентах.

Формула для вычисления относительной частоты события $A$: $W(A) = \frac{m}{n}$ , где $m$ — абсолютная частота события $A$ (сколько раз оно произошло), а $n$ — общее число наблюдений.

В примере с кубиком, относительная частота выпадения шестерки равна $3/20 = 0,15$ или 15%. С увеличением числа испытаний (например, если бросать кубик тысячи раз) относительная частота случайного события стремится к его теоретической вероятности (для нашего кубика это $1/6 \approx 0,167$). Этот факт известен как закон больших чисел.

Ответ: Частота результата — это мера того, как часто определенный исход встречается в наборе данных. Абсолютная частота — это прямое количество повторений, а относительная частота — это доля этих повторений от общего числа наблюдений, вычисляемая как отношение абсолютной частоты к общему числу наблюдений.

Таблицы распределения частот

Когда имеется большой набор необработанных данных (например, рост 100 студентов или результаты опроса), анализировать его в виде простого списка неудобно. Чтобы упорядочить, сгруппировать и наглядно представить данные, используют таблицы распределения частот. Они являются основным инструментом для первичной обработки статистической информации.

Такая таблица систематизирует данные, показывая все уникальные значения (варианты) и их соответствующие частоты. Как правило, таблица содержит следующие столбцы:

• Варианта ($x_i$): Уникальное значение признака в выборке.
• Абсолютная частота ($m_i$): Количество повторений каждой варианты в данных.
• Относительная частота ($W_i$): Доля каждой варианты, рассчитанная как $m_i / n$, где $n$ — общий объем выборки. Сумма всех относительных частот всегда равна 1 (или 100%).

Рассмотрим пример. Допустим, были зафиксированы размеры обуви 25 учеников класса. Получился следующий ряд данных:

38, 40, 37, 38, 39, 41, 38, 40, 39, 37, 38, 42, 39, 40, 38, 39, 38, 41, 39, 38, 40, 39, 38, 37, 39.

Чтобы составить таблицу распределения частот, выполним следующие шаги:

1. Определим уникальные варианты (размеры обуви): 37, 38, 39, 40, 41, 42.
2. Подсчитаем абсолютную частоту для каждого размера:
   • Размер 37: 3 раза
   • Размер 38: 8 раз
   • Размер 39: 7 раз
   • Размер 40: 4 раза
   • Размер 41: 2 раза
   • Размер 42: 1 раз
3. Проверим, что сумма частот равна общему числу учеников: $3 + 8 + 7 + 4 + 2 + 1 = 25$. Верно.
4. Вычислим относительную частоту для каждого размера, разделив его абсолютную частоту на 25:
   • Для 37: $3/25 = 0,12$
   • Для 38: $8/25 = 0,32$
   • Для 39: $7/25 = 0,28$
   • Для 40: $4/25 = 0,16$
   • Для 41: $2/25 = 0,08$
   • Для 42: $1/25 = 0,04$

Теперь представим эти данные в виде таблицы:

Такая таблица позволяет быстро оценить распределение данных: какой размер самый частый (мода — 38), какой самый редкий (42), и как распределены остальные значения. На основе таких таблиц строят графики распределения, например, полигоны частот и гистограммы.

Ответ: Таблица распределения частот — это инструмент для систематизации и наглядного представления статистических данных, который в табличной форме показывает все уникальные значения (варианты) и то, как часто (абсолютная частота) или с какой долей (относительная частота) они встречаются в исследуемой совокупности.

30.1 Найдите $p(a) = p_1(a) + p_2(a)$, если:

а) $p_1(a) = 2a + 5$; $p_2(a) = 3a - 7$;

б) $p_1(a) = 7 - 2a$; $p_2(a) = -1 - 5a$;

в) $p_1(a) = 3a - 4$; $p_2(a) = 11 - 3a$;

г) $p_1(a) = -4 - 3a$; $p_2(a) = 7 - 8a$.

а) Чтобы найти $p(a)$, необходимо сложить многочлены $p_1(a) = 2a + 5$ и $p_2(a) = 3a - 7$. Выполним сложение:

$p(a) = p_1(a) + p_2(a) = (2a + 5) + (3a - 7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем члены с переменной $a$ и постоянные члены:

$p(a) = 2a + 5 + 3a - 7 = (2a + 3a) + (5 - 7) = 5a - 2$

Ответ: $5a - 2$

б) Сложим многочлены $p_1(a) = 7 - 2a$ и $p_2(a) = -1 - 5a$.

$p(a) = p_1(a) + p_2(a) = (7 - 2a) + (-1 - 5a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$p(a) = 7 - 2a - 1 - 5a = (7 - 1) + (-2a - 5a) = 6 - 7a$

Ответ: $6 - 7a$

в) Найдем сумму многочленов $p_1(a) = 3a - 4$ и $p_2(a) = 11 - 3a$.

$p(a) = p_1(a) + p_2(a) = (3a - 4) + (11 - 3a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены с переменной $a$ взаимно уничтожаются:

$p(a) = 3a - 4 + 11 - 3a = (3a - 3a) + (-4 + 11) = 0 + 7 = 7$

Ответ: $7$

г) Сложим многочлены $p_1(a) = -4 - 3a$ и $p_2(a) = 7 - 8a$.

$p(a) = p_1(a) + p_2(a) = (-4 - 3a) + (7 - 8a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$p(a) = -4 - 3a + 7 - 8a = (-4 + 7) + (-3a - 8a) = 3 - 11a$

Ответ: $3 - 11a$

30.2 Найдите $p(x) = p_1(x) + p_2(x)$, если:

а) $p_1(x) = 2x^3 + 5$; $p_2(x) = 3x^3 + 7;

б) $p_1(x) = 4x^5 + 2x + 1$; $p_2(x) = x^5 + x - 2;

в) $p_1(x) = 6x^2 - 4$; $p_2(x) = 5x^2 - 10;

г) $p_1(x) = x^{11} + x^6 - 3$; $p_2(x) = 2x^{11} + 3x^6 + 1.

а) Для того чтобы найти $p(x)$, необходимо сложить многочлены $p_1(x)$ и $p_2(x)$. Сложение многочленов заключается в сложении их подобных членов, то есть членов с одинаковыми степенями переменной $x$.

Дано: $p_1(x) = 2x^3 + 5$ и $p_2(x) = 3x^3 + 7$.

Запишем их сумму:

$p(x) = p_1(x) + p_2(x) = (2x^3 + 5) + (3x^3 + 7)$

Сгруппируем подобные члены:

$p(x) = (2x^3 + 3x^3) + (5 + 7)$

Выполним сложение коэффициентов при подобных членах:

$p(x) = 5x^3 + 12$

Ответ: $p(x) = 5x^3 + 12$.

б) Аналогично, сложим многочлены $p_1(x) = 4x^5 + 2x + 1$ и $p_2(x) = x^5 + x - 2$.

$p(x) = (4x^5 + 2x + 1) + (x^5 + x - 2)$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$p(x) = (4x^5 + x^5) + (2x + x) + (1 - 2)$

$p(x) = 5x^5 + 3x - 1$

Ответ: $p(x) = 5x^5 + 3x - 1$.

в) Сложим многочлены $p_1(x) = 6x^2 - 4$ и $p_2(x) = 5x^2 - 10$.

$p(x) = (6x^2 - 4) + (5x^2 - 10)$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$p(x) = (6x^2 + 5x^2) + (-4 - 10)$

$p(x) = 11x^2 - 14$

Ответ: $p(x) = 11x^2 - 14$.

г) Сложим многочлены $p_1(x) = x^{11} + x^6 - 3$ и $p_2(x) = 2x^{11} + 3x^6 + 1$.

$p(x) = (x^{11} + x^6 - 3) + (2x^{11} + 3x^6 + 1)$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$p(x) = (x^{11} + 2x^{11}) + (x^6 + 3x^6) + (-3 + 1)$

$p(x) = 3x^{11} + 4x^6 - 2$

Ответ: $p(x) = 3x^{11} + 4x^6 - 2$.

30.3 Найдите $p(a; b) = p_1(a; b) + p_2(a; b)$, если:

а) $p_1(a; b) = a + 3b$; $p_2(a; b) = 3a - 3b$;

б) $p_1(a; b) = 8a^3 + 3a^2b - 5ab^2 + b^3$;
$p_2(a; b) = 18a^3 - 3a^2b - 5ab^2 + 2b^3$;

в) $p_1(a; b) = a^2 - 5ab - 3b^2$; $p_2(a; b) = a^2 + b^2$;

г) $p_1(a; b) = 10a^4 - 7a^3b - a^2b^2 + 6$;
$p_2(a; b) = 17a^4 - 10a^3b + a^2b^2 + 3$.

а) Чтобы найти $p(a; b)$, нужно сложить многочлены $p_1(a; b) = a + 3b$ и $p_2(a; b) = 3a - 3b$.

$p(a; b) = p_1(a; b) + p_2(a; b) = (a + 3b) + (3a - 3b)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$p(a; b) = a + 3b + 3a - 3b = (a + 3a) + (3b - 3b) = 4a$.

Ответ: $p(a; b) = 4a$.

б) Сложим многочлены $p_1(a; b) = 8a^3 + 3a^2b - 5ab^2 + b^3$ и $p_2(a; b) = 18a^3 - 3a^2b - 5ab^2 + 2b^3$.

$p(a; b) = p_1(a; b) + p_2(a; b) = (8a^3 + 3a^2b - 5ab^2 + b^3) + (18a^3 - 3a^2b - 5ab^2 + 2b^3)$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$p(a; b) = (8a^3 + 18a^3) + (3a^2b - 3a^2b) + (-5ab^2 - 5ab^2) + (b^3 + 2b^3)$.

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$p(a; b) = 26a^3 + 0 - 10ab^2 + 3b^3 = 26a^3 - 10ab^2 + 3b^3$.

Ответ: $p(a; b) = 26a^3 - 10ab^2 + 3b^3$.

в) Сложим многочлены $p_1(a; b) = a^2 - 5ab - 3b^2$ и $p_2(a; b) = a^2 + b^2$.

$p(a; b) = p_1(a; b) + p_2(a; b) = (a^2 - 5ab - 3b^2) + (a^2 + b^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$p(a; b) = a^2 - 5ab - 3b^2 + a^2 + b^2 = (a^2 + a^2) - 5ab + (-3b^2 + b^2)$.

$p(a; b) = 2a^2 - 5ab - 2b^2$.

Ответ: $p(a; b) = 2a^2 - 5ab - 2b^2$.

г) Сложим многочлены $p_1(a; b) = 10a^4 - 7a^3b - a^2b^2 + 6$ и $p_2(a; b) = 17a^4 - 10a^3b + a^2b^2 + 3$.

$p(a; b) = p_1(a; b) + p_2(a; b) = (10a^4 - 7a^3b - a^2b^2 + 6) + (17a^4 - 10a^3b + a^2b^2 + 3)$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$p(a; b) = (10a^4 + 17a^4) + (-7a^3b - 10a^3b) + (-a^2b^2 + a^2b^2) + (6 + 3)$.

Выполним сложение в каждой группе:

$p(a; b) = 27a^4 - 17a^3b + 0 + 9 = 27a^4 - 17a^3b + 9$.

Ответ: $p(a; b) = 27a^4 - 17a^3b + 9$.

30.4 Найдите $p(y) = p_1(y) - p_2(y)$, если:

a) $p_1(y) = 2y^3 + 8y - 11$; $p_2(y) = 3y^3 - 6y + 3$;

б) $p_1(y) = 4y^4 + 4y^2 - 13$; $p_2(y) = 4y^4 - 4y^2 + 13$;

в) $p_1(y) = y^3 - y + 7$; $p_2(y) = y^3 + 5y + 11$;

г) $p_1(y) = 15 - 7y^2$; $p_2(y) = y^3 - y^2 - 15$.

а)

Чтобы найти разность многочленов $p(y) = p_1(y) - p_2(y)$, необходимо вычесть многочлен $p_2(y)$ из многочлена $p_1(y)$.

Дано: $p_1(y) = 2y^3 + 8y - 11$ и $p_2(y) = 3y^3 - 6y + 3$.

Запишем разность:

$p(y) = (2y^3 + 8y - 11) - (3y^3 - 6y + 3)$

Раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$p(y) = 2y^3 + 8y - 11 - 3y^3 + 6y - 3$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой степенью переменной $y$):

$p(y) = (2y^3 - 3y^3) + (8y + 6y) + (-11 - 3)$

Выполним вычисления:

$p(y) = -y^3 + 14y - 14$

Ответ: $-y^3 + 14y - 14$

б)

Дано: $p_1(y) = 4y^4 + 4y^2 - 13$ и $p_2(y) = 4y^4 - 4y^2 + 13$.

Запишем разность:

$p(y) = (4y^4 + 4y^2 - 13) - (4y^4 - 4y^2 + 13)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во втором многочлене:

$p(y) = 4y^4 + 4y^2 - 13 - 4y^4 + 4y^2 - 13$

Приведем подобные слагаемые:

$p(y) = (4y^4 - 4y^4) + (4y^2 + 4y^2) + (-13 - 13)$

Выполним вычисления:

$p(y) = 0 \cdot y^4 + 8y^2 - 26 = 8y^2 - 26$

Ответ: $8y^2 - 26$

в)

Дано: $p_1(y) = y^3 - y + 7$ и $p_2(y) = y^3 + 5y + 11$.

Запишем разность:

$p(y) = (y^3 - y + 7) - (y^3 + 5y + 11)$

Раскроем скобки:

$p(y) = y^3 - y + 7 - y^3 - 5y - 11$

Приведем подобные слагаемые:

$p(y) = (y^3 - y^3) + (-y - 5y) + (7 - 11)$

Выполним вычисления:

$p(y) = 0 \cdot y^3 - 6y - 4 = -6y - 4$

Ответ: $-6y - 4$

г)

Дано: $p_1(y) = 15 - 7y^2$ и $p_2(y) = y^3 - y^2 - 15$.

Запишем разность:

$p(y) = (15 - 7y^2) - (y^3 - y^2 - 15)$

Раскроем скобки:

$p(y) = 15 - 7y^2 - y^3 + y^2 + 15$

Приведем подобные слагаемые и запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней $y$):

$p(y) = -y^3 + (-7y^2 + y^2) + (15 + 15)$

Выполним вычисления:

$p(y) = -y^3 - 6y^2 + 30$

Ответ: $-y^3 - 6y^2 + 30$