Страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Проверьте, можно ли одночлен $8a^3bc^2$ разделить на одночлен $2a^2bc$. Если да, то выполните деление; если нет, то объясните почему.

Чтобы проверить, можно ли одночлен $8a^3bc^2$ разделить на одночлен $2a^2bc$, необходимо проверить выполнение двух условий. Во-первых, все переменные, входящие в состав делителя, должны также входить в состав делимого. Во-вторых, степень каждой переменной в делителе должна быть не больше степени этой же переменной в делимом.

В данном случае делитель $2a^2bc$ содержит переменные $a, b, c$. Все эти переменные также содержатся в делимом $8a^3bc^2$. Первое условие выполнено.

Теперь сравним степени переменных. Для переменной $a$ степень в делимом равна 3, а в делителе — 2 (что удовлетворяет условию $3 \ge 2$). Для переменной $b$ степени в делимом и делителе равны 1 (условие $1 \ge 1$ выполнено). Для переменной $c$ степень в делимом равна 2, а в делителе — 1 (условие $2 \ge 1$ выполнено). Таким образом, второе условие также выполняется для всех переменных.

Поскольку оба условия выполнены, можно сделать вывод, что деление возможно. Выполним его.

Для этого разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя (8 на 2) и вычтем из показателей степеней переменных делимого соответствующие показатели степеней переменных делителя:

$\frac{8a^3bc^2}{2a^2bc} = \frac{8}{2} \cdot a^{3-2} \cdot b^{1-1} \cdot c^{2-1} = 4a^1b^0c^1$

Учитывая, что $a^1=a$, $b^0=1$ и $c^1=c$, получаем результат:

$4ac$

Ответ: Да, одночлен $8a^3bc^2$ можно разделить на $2a^2bc$, результат деления равен $4ac$.

2. Проверьте, можно ли одночлен $8a^3bc^2$ разделить на одночлен $2abc^3$. Если да, то выполните деление; если нет, то объясните почему.

Для того чтобы определить, можно ли один одночлен разделить на другой так, чтобы в результате снова получился одночлен, необходимо сравнить показатели степеней каждой переменной в делимом и делителе.

Правило гласит, что одночлен $A$ делится нацело на одночлен $B$ (где $B \neq 0$) тогда и только тогда, когда в одночлене $A$ содержатся все переменные из одночлена $B$, и при этом показатель степени каждой переменной в $A$ не меньше (то есть больше или равен) показателя степени той же переменной в $B$.

В данной задаче нам нужно разделить одночлен (делимое) $8a^3bc^2$ на одночлен (делитель) $2abc^3$.

Проверим выполнение условия для каждой переменной:

- Для переменной $a$: степень в делимом равна $3$, в делителе — $1$. Так как $3 \ge 1$, условие выполняется.
- Для переменной $b$: степень в делимом равна $1$, в делителе — $1$. Так как $1 \ge 1$, условие выполняется.
- Для переменной $c$: степень в делимом равна $2$, а в делителе — $3$. Так как $2 < 3$, условие не выполняется.

Поскольку для переменной $c$ показатель степени в делимом меньше, чем в делителе, то разделить одночлен $8a^3bc^2$ на одночлен $2abc^3$ с получением в результате нового одночлена невозможно.

Если мы попытаемся выполнить деление, то получим рациональное выражение (дробь), а не одночлен:

$\frac{8a^3bc^2}{2abc^3} = \frac{8}{2} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1-1} \cdot c^{2-3} = 4a^2b^0c^{-1} = 4a^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{c} = \frac{4a^2}{c}$

Полученное выражение $\frac{4a^2}{c}$ не является одночленом, так как содержит переменную в знаменателе (что эквивалентно переменной с отрицательной степенью).

Ответ: Разделить одночлен $8a^3bc^2$ на одночлен $2abc^3$ нельзя, потому что степень переменной $c$ в делимом ($2$) меньше степени этой же переменной в делителе ($3$).

3. Всегда ли задание разделить одночлен на одночлен является корректным?

Нет, задание разделить одночлен на одночлен не всегда является корректным. Чтобы операция деления была корректной и ее результатом был снова одночлен, должны выполняться определенные условия.

Рассмотрим два основных случая, когда задание может быть некорректным.

1. Деление на ноль.

Делитель (одночлен, на который делят) не может быть равен нулю. Деление на ноль — это неопределенная математическая операция. Одночлен равен нулю, если его коэффициент равен нулю.

Пример: Задание "разделить $12a^2b$ на $0x^3y$" является некорректным, так как делитель равен нулю.

2. Результат деления не является одночленом.

По определению, одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Если в результате деления получается выражение, содержащее переменную в знаменателе (или, что то же самое, переменную с отрицательной степенью), то такое выражение уже не является одночленом. Это происходит, когда:

• Степень какой-либо переменной в делителе больше, чем степень этой же переменной в делимом.
• В делителе есть переменная, которой нет в делимом.

Пример корректного деления:

Разделить $15x^4y^3z$ на $3x^2y$.

$ \frac{15x^4y^3z}{3x^2y} = (\frac{15}{3}) \cdot (x^{4-2}) \cdot (y^{3-1}) \cdot z = 5x^2y^2z $

Результат $5x^2y^2z$ является одночленом. В этом случае задание корректно.

Пример некорректного деления (результат — не одночлен):

Разделить $10a^2b^5$ на $2a^3b^2$.

$ \frac{10a^2b^5}{2a^3b^2} = (\frac{10}{2}) \cdot (a^{2-3}) \cdot (b^{5-2}) = 5a^{-1}b^3 = \frac{5b^3}{a} $

Результат $\frac{5b^3}{a}$ не является одночленом, так как содержит переменную $a$ в знаменателе. Следовательно, в рамках изучения темы "одночлены" такое задание считается некорректным, поскольку результат выходит за пределы множества одночленов.

Таким образом, задание "разделить одночлен на одночлен" корректно только тогда, когда делитель не равен нулю и все переменные, входящие в состав делителя, входят также и в состав делимого, причем степень каждой переменной в делимом не меньше ее степени в делителе.

Ответ: Нет, не всегда. Задание разделить одночлен на одночлен является корректным (и результатом будет одночлен) только в том случае, если: 1) делитель не является нулевым одночленом; 2) степень каждой переменной в делимом больше или равна степени той же переменной в делителе.

4. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на одночлен является корректным.

Задание разделить один одночлен на другой является корректным, когда в результате деления снова получается одночлен. Это происходит, если выполняются следующие условия:

• Для каждой переменной, входящей в состав обоих одночленов, показатель степени в делимом (тот одночлен, который делят) должен быть больше или равен показателю степени в делителе (тот одночлен, на который делят).
• Все переменные, которые есть в делителе, должны также присутствовать и в делимом.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример: Разделить одночлен $12a^4b^2c$ на одночлен $4a^3b$.

В данном случае делимое — это $12a^4b^2c$, а делитель — $4a^3b$.

Проверим выполнение условий:

• Для переменной $a$: показатель в делимом (4) больше показателя в делителе (3). $4 \geq 3$.
• Для переменной $b$: показатель в делимом (2) больше показателя в делителе (1). $2 \geq 1$.
• Переменная $c$ есть в делимом, но отсутствует в делителе (что равносильно показателю степени 0), поэтому это условие также выполняется.

Поскольку все условия соблюдены, деление является корректным. Выполним его:

$ \frac{12a^4b^2c}{4a^3b} = (\frac{12}{4}) \cdot (a^{4-3}) \cdot (b^{2-1}) \cdot c = 3 \cdot a^1 \cdot b^1 \cdot c = 3abc $

Результат $3abc$ является одночленом, что и требовалось.

Ответ: Примером корректного задания является деление $12a^4b^2c$ на $4a^3b$, в результате которого получается одночлен $3abc$.

5. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на одночлен является некорректным.

Задание "разделить одночлен на одночлен" является корректным, если результатом деления также является одночлен. По определению, одночлен — это алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового коэффициента и переменных, возведенных в неотрицательные целые степени. Если в результате деления получается выражение, которое не удовлетворяет этому определению, то задание считается некорректным.

Это происходит, когда степень какой-либо переменной в одночлене-делителе оказывается больше, чем степень той же переменной в одночлене-делимом. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, и в таком случае у переменной в частном получится отрицательный показатель степени.

Рассмотрим конкретный пример: разделить одночлен $12a^4b^2$ на одночлен $3a^2b^5$.

Выполним деление, используя правило деления одночленов (коэффициенты делятся, а показатели степеней одинаковых переменных вычитаются): $$ \frac{12a^4b^2}{3a^2b^5} = \frac{12}{3} \cdot a^{4-2} \cdot b^{2-5} = 4a^2b^{-3} $$

Полученное выражение $4a^2b^{-3}$ не является одночленом, поскольку содержит переменную $b$ с отрицательной степенью $-3$. Это выражение является дробно-рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{4a^2}{b^3}$. Поскольку результат не является одночленом, то и само задание на деление в контексте операций над одночленами является некорректным.

Другим, более фундаментальным, примером некорректного задания является деление на нулевой одночлен (на $0$), так как деление на ноль в математике не определено. Например, задание "разделить $5x^2$ на $0$" некорректно.

Ответ: Пример некорректного задания — разделить одночлен $x^3$ на одночлен $x^5$, так как результатом является выражение $x^{3-5} = x^{-2}$, которое не является одночленом.

29.5 Даны одночлены: $0.5x^2y$; $-xy^2$; $12xy$; $-3x^2y$; $-0.2xy$; $4xy^2$. Составьте из них:

а) многочлен, в котором нет подобных членов;

б) многочлен, в котором есть подобные члены;

в) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все данные одночлены;

г) выражения, которые не являются многочленами.

Даны одночлены: $0,5x^2y$; $-xy^2$; $12xy$; $-3x^2y$; $-0,2xy$; $4xy^2$.

Прежде чем составлять выражения, найдем среди данных одночленов подобные. Подобными называются одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть.

• Одночлены с буквенной частью $x^2y$: $0,5x^2y$ и $-3x^2y$.
• Одночлены с буквенной частью $xy^2$: $-xy^2$ и $4xy^2$.
• Одночлены с буквенной частью $xy$: $12xy$ и $-0,2xy$.

Теперь составим требуемые выражения.

а) многочлен, в котором нет подобных членов;
Чтобы в многочлене не было подобных членов, нужно составить его из одночленов с разной буквенной частью. Для этого возьмем по одному представителю из каждой группы подобных членов. Например, возьмем $0,5x^2y$, $-xy^2$ и $12xy$. Сумма этих одночленов и будет искомым многочленом.
Пример: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$.
Ответ: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$ (возможны и другие варианты, например, $-3x^2y + 4xy^2 - 0,2xy$).

б) многочлен, в котором есть подобные члены;
Чтобы в многочлене были подобные члены, нужно включить в него как минимум два одночлена из одной группы. Например, возьмем два одночлена с буквенной частью $x^2y$ и добавим к ним любой другой одночлен, например, $4xy^2$.
Пример: $0,5x^2y - 3x^2y + 4xy^2$. В этом многочлене $0,5x^2y$ и $-3x^2y$ являются подобными членами.
Ответ: $0,5x^2y - 3x^2y + 4xy^2$ (возможны и другие варианты, например, $12xy - 0,2xy - xy^2$).

в) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все данные одночлены;
Нам нужно разделить все шесть данных одночленов на две группы (два будущих многочлена) так, чтобы в каждой группе не оказалось подобных членов. Это можно сделать, если в каждую группу попадет ровно по одному одночлену из каждой пары подобных.
Разделим пары:
Пара 1: $0,5x^2y$ и $-3x^2y$
Пара 2: $-xy^2$ и $4xy^2$
Пара 3: $12xy$ и $-0,2xy$

Составим первый многочлен, взяв по одному одночлену из каждой пары:
Первый многочлен: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$.

Второй многочлен будет состоять из оставшихся одночленов:
Второй многочлен: $-3x^2y + 4xy^2 - 0,2xy$.
В каждом из этих многочленов буквенные части всех членов различны, значит, подобных членов нет.
Ответ: Первый многочлен: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$; второй многочлен: $-3x^2y + 4xy^2 - 0,2xy$.

г) выражения, которые не являются многочленами.
Многочлен — это сумма одночленов. Выражения, содержащие другие операции, например, деление на одночлен с переменными, не являются многочленами. Составим такие выражения из данных одночленов.
Пример 1: частное двух одночленов.
$\frac{12xy}{-xy^2}$
Это выражение после сокращения равно $-\frac{12}{y}$, оно не является многочленом, так как содержит деление на переменную.

Пример 2: частное от деления суммы одночленов на одночлен.
$(0,5x^2y + 12xy) : (4xy^2)$
Это выражение также не является многочленом.
Ответ: Примерами таких выражений могут быть $\frac{12xy}{-xy^2}$ или $(0,5x^2y + 12xy) : (4xy^2)$.

Приведите многочлен к стандартному виду:

29.6 a) $5x^2 - 3x^2 - x^2$;

б) $7y^3 + y^3 + 12y^3$;

в) $1,2c^5 + 2,8c^5 - 4c^5$;

г) $\frac{1}{2}d^n - \frac{1}{3}d^n + \frac{1}{6}d^n$.

а) Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо найти подобные члены и сложить их коэффициенты. В данном выражении все члены $5x^2$, $-3x^2$ и $-x^2$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $x^2$.

Вынесем общую буквенную часть за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$5x^2 - 3x^2 - x^2 = (5 - 3 - 1)x^2 = (2 - 1)x^2 = 1x^2 = x^2$.

Ответ: $x^2$.

б) Все члены многочлена $7y^3$, $y^3$ и $12y^3$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $y^3$. Обратите внимание, что коэффициент члена $y^3$ равен 1.

Сложим коэффициенты подобных членов:

$7y^3 + y^3 + 12y^3 = (7 + 1 + 12)y^3 = (8 + 12)y^3 = 20y^3$.

Ответ: $20y^3$.

в) Все члены многочлена $1,2c^5$, $2,8c^5$ и $-4c^5$ являются подобными с буквенной частью $c^5$.

Сгруппируем коэффициенты и выполним вычисления:

$1,2c^5 + 2,8c^5 - 4c^5 = (1,2 + 2,8 - 4)c^5 = (4 - 4)c^5 = 0 \cdot c^5 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Подобными членами являются $\frac{1}{2}d^n$, $-\frac{1}{3}d^n$ и $\frac{1}{6}d^n$. Чтобы сложить их коэффициенты, которые являются дробями, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2, 3 и 6 равен 6.

Выполним сложение дробей:

$\frac{1}{2}d^n - \frac{1}{3}d^n + \frac{1}{6}d^n = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6})d^n = (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6})d^n = (\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + \frac{1}{6})d^n = \frac{3 - 2 + 1}{6}d^n = \frac{2}{6}d^n$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{2}{6}d^n = \frac{1}{3}d^n$.

Ответ: $\frac{1}{3}d^n$.

29.7 а) $5x^2 - 3xy - 2xy + x^2;$

б) $3t^2 - 5t^2 - 11t - 3t^2 + 5t + 11;$

в) $7a^2b - 5a^2b + ab^2 + 2ab^2;$

г) $z^3 + 2z^2 + z^3 - 4z - z^2.$

а) Чтобы упростить выражение $5x^2 - 3xy - 2xy + x^2$, необходимо привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном выражении есть две группы подобных слагаемых:
1. Слагаемые с $x^2$: $5x^2$ и $x^2$.
2. Слагаемые с $xy$: $-3xy$ и $-2xy$.
Сгруппируем и сложим их:
$(5x^2 + x^2) + (-3xy - 2xy) = (5+1)x^2 + (-3-2)xy = 6x^2 - 5xy$.
Ответ: $6x^2 - 5xy$.

б) В выражении $3t^2 - 5t^2 - 11t - 3t^2 + 5t + 11$ также приведем подобные слагаемые. Сгруппируем их по буквенной части:
1. Слагаемые с $t^2$: $3t^2$, $-5t^2$ и $-3t^2$.
2. Слагаемые с $t$: $-11t$ и $5t$.
3. Свободный член (число): $11$.
Выполним сложение в каждой группе:
$(3t^2 - 5t^2 - 3t^2) + (-11t + 5t) + 11 = (3 - 5 - 3)t^2 + (-11 + 5)t + 11 = -5t^2 - 6t + 11$.
Ответ: $-5t^2 - 6t + 11$.

в) Для упрощения выражения $7a^2b - 5a^2b + ab^2 + 2ab^2$ найдем и сложим подобные слагаемые. Обратите внимание, что $a^2b$ и $ab^2$ — это разные буквенные части.
1. Слагаемые с $a^2b$: $7a^2b$ и $-5a^2b$.
2. Слагаемые с $ab^2$: $ab^2$ и $2ab^2$.
Сложим их:
$(7a^2b - 5a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) = (7-5)a^2b + (1+2)ab^2 = 2a^2b + 3ab^2$.
Ответ: $2a^2b + 3ab^2$.

г) В выражении $z^3 + 2z^2 + z^3 - 4z - z^2$ приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням переменной $z$.
1. Слагаемые с $z^3$: $z^3$ и $z^3$.
2. Слагаемые с $z^2$: $2z^2$ и $-z^2$.
3. Слагаемое с $z$: $-4z$.
Выполним сложение в группах и запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней):
$(z^3 + z^3) + (2z^2 - z^2) - 4z = (1+1)z^3 + (2-1)z^2 - 4z = 2z^3 + z^2 - 4z$.
Ответ: $2z^3 + z^2 - 4z$.

29.8 a) $4b^2 + a^2 + 6ab - 11b^2 - 6ab;$

б) $3a^2x + 3ax^2 + 5a^3 - 3ax^2 - 8a^2x - 10a^3;$

в) $9x^3 - 8xy - 6y^2 - 9x^3 - xy;$

Г) $m^4 - 3m^3n + n^2m^2 - m^2n^2.$

а) Чтобы упростить выражение $4b^2 + a^2 + 6ab - 11b^2 - 6ab$, необходимо найти и сложить подобные члены. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с буквенной частью $b^2$: $4b^2$ и $-11b^2$.

2. Члены с буквенной частью $a^2$: $a^2$.

3. Члены с буквенной частью $ab$: $6ab$ и $-6ab$.

Теперь приведем подобные слагаемые, выполнив сложение и вычитание их коэффициентов:

$(4b^2 - 11b^2) + a^2 + (6ab - 6ab) = (4-11)b^2 + a^2 + (6-6)ab = -7b^2 + a^2 + 0 \cdot ab = a^2 - 7b^2$.

Ответ: $a^2 - 7b^2$.

б) Упростим выражение $3a^2x + 3ax^2 + 5a^3 - 3ax^2 - 8a^2x - 10a^3$.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с $a^2x$: $3a^2x$ и $-8a^2x$.

2. Члены с $ax^2$: $3ax^2$ и $-3ax^2$.

3. Члены с $a^3$: $5a^3$ и $-10a^3$.

Выполним действия с ними:

$(3a^2x - 8a^2x) + (3ax^2 - 3ax^2) + (5a^3 - 10a^3) = (3-8)a^2x + (3-3)ax^2 + (5-10)a^3 = -5a^2x + 0 \cdot ax^2 - 5a^3 = -5a^3 - 5a^2x$.

Ответ: $-5a^3 - 5a^2x$.

в) Упростим выражение $9x^3 - 8xy - 6y^2 - 9x^3 - xy$.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с $x^3$: $9x^3$ и $-9x^3$.

2. Члены с $xy$: $-8xy$ и $-xy$ (коэффициент которого равен -1).

3. Члены с $y^2$: $-6y^2$.

Выполним действия с ними:

$(9x^3 - 9x^3) + (-8xy - xy) - 6y^2 = (9-9)x^3 + (-8-1)xy - 6y^2 = 0 \cdot x^3 - 9xy - 6y^2 = -9xy - 6y^2$.

Ответ: $-9xy - 6y^2$.

г) Упростим выражение $m^4 - 3m^3n + n^2m^2 - m^2n^2$.

Сгруппируем подобные члены. Заметим, что от перестановки множителей произведение не меняется, поэтому $n^2m^2$ и $m^2n^2$ являются подобными членами.

1. Члены с $m^4$: $m^4$.

2. Члены с $m^3n$: $-3m^3n$.

3. Члены с $m^2n^2$: $n^2m^2$ (с коэффициентом 1) и $-m^2n^2$ (с коэффициентом -1).

Выполним действия с ними:

$m^4 - 3m^3n + (n^2m^2 - m^2n^2) = m^4 - 3m^3n + (1-1)m^2n^2 = m^4 - 3m^3n + 0 \cdot m^2n^2 = m^4 - 3m^3n$.

Ответ: $m^4 - 3m^3n$.

29.9 а) $mmmm - nnnn;$

б) $3s \cdot 2r + 2rs + 4r \cdot 8s;$

в) $pqpq - qpqp;$

г) $12m \cdot 2n - 3m \cdot 4n - 7m \cdot 8n.$

а)

В выражении $mmmm - nnnn$ каждый член представляет собой произведение одинаковых переменных. Первый член $mmmm$ — это произведение переменной $m$ на саму себя четыре раза. В стандартной математической нотации это записывается как степень: $m \cdot m \cdot m \cdot m = m^4$. Аналогично, второй член $nnnn$ — это произведение переменной $n$ на саму себя четыре раза: $n \cdot n \cdot n \cdot n = n^4$. Таким образом, исходное выражение можно переписать в более компактном виде с использованием степеней.
$mmmm - nnnn = m^4 - n^4$.
Ответ: $m^4 - n^4$.

б)

Рассмотрим выражение $3s \cdot 2r + 2rs + 4r \cdot 8s$. Сначала упростим каждое слагаемое, выполнив умножение. Первое слагаемое: $3s \cdot 2r = (3 \cdot 2) \cdot (s \cdot r) = 6rs$. Третье слагаемое: $4r \cdot 8s = (4 \cdot 8) \cdot (r \cdot s) = 32rs$. Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:
$6rs + 2rs + 32rs$.
Все три слагаемых являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $rs$. Сложим их коэффициенты:
$6 + 2 + 32 = 40$.
Таким образом, все выражение равно:
$(6 + 2 + 32)rs = 40rs$.
Ответ: $40rs$.

в)

Рассмотрим выражение $pqpq - qpqp$. Упростим уменьшаемое и вычитаемое. Уменьшаемое: $pqpq = p \cdot q \cdot p \cdot q$. Используя переместительное свойство умножения, сгруппируем одинаковые переменные: $(p \cdot p) \cdot (q \cdot q) = p^2q^2$. Вычитаемое: $qpqp = q \cdot p \cdot q \cdot p$. Аналогично, сгруппируем одинаковые переменные: $(q \cdot q) \cdot (p \cdot p) = q^2p^2$. Так как от перестановки множителей произведение не меняется, $p^2q^2$ и $q^2p^2$ — это одно и то же. Подставим упрощенные части обратно в выражение:
$p^2q^2 - q^2p^2 = p^2q^2 - p^2q^2 = 0$.
Ответ: $0$.

г)

Рассмотрим выражение $12m \cdot 2n - 3m \cdot 4n - 7m \cdot 8n$. Сначала выполним умножение в каждом члене выражения. Первый член: $12m \cdot 2n = (12 \cdot 2) \cdot (m \cdot n) = 24mn$. Второй член: $3m \cdot 4n = (3 \cdot 4) \cdot (m \cdot n) = 12mn$. Третий член: $7m \cdot 8n = (7 \cdot 8) \cdot (m \cdot n) = 56mn$. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$24mn - 12mn - 56mn$.
Все члены выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $mn$. Выполним действия с их коэффициентами:
$24 - 12 - 56 = 12 - 56 = -44$.
Результат выражения:
$(24 - 12 - 56)mn = -44mn$.
Ответ: $-44mn$.

29.10 a) $4p^3 \cdot 2p + 3p^2 \cdot 4p + 2p^2 \cdot 2p^2 - 2p^3 \cdot 4;$

б) $x \cdot \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}x + 0,8x - x \cdot \frac{1}{6}x - x;$

в) $y \cdot 2y - 3y - y^2 - 5 + 2yy - y \cdot 5 + y \cdot 7y^2;$

г) $\frac{5}{6}aa + \frac{1}{3}a - 0,6aa + a \cdot 0,1a.$

а) $4p^3 \cdot 2p + 3p^2 \cdot 4p + 2p^2 \cdot 2p^2 - 2p^3 \cdot 4$

Чтобы упростить выражение, сначала выполним умножение в каждом члене многочлена:

$4p^3 \cdot 2p = (4 \cdot 2) \cdot (p^3 \cdot p) = 8p^{3+1} = 8p^4$

$3p^2 \cdot 4p = (3 \cdot 4) \cdot (p^2 \cdot p) = 12p^{2+1} = 12p^3$

$2p^2 \cdot 2p^2 = (2 \cdot 2) \cdot (p^2 \cdot p^2) = 4p^{2+2} = 4p^4$

$2p^3 \cdot 4 = (2 \cdot 4) \cdot p^3 = 8p^3$

Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение:

$8p^4 + 12p^3 + 4p^4 - 8p^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(8p^4 + 4p^4) + (12p^3 - 8p^3) = 12p^4 + 4p^3$

Ответ: $12p^4 + 4p^3$

б) $x \cdot \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}x + 0,8x - x \cdot \frac{1}{6}x - x$

Сначала упростим каждый член выражения:

$x \cdot \frac{2}{3}x = \frac{2}{3}x^2$

$-x \cdot \frac{1}{6}x = -\frac{1}{6}x^2$

Выражение принимает вид:

$\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{4}x + 0,8x - \frac{1}{6}x^2 - x$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x^2) + (\frac{1}{4}x + 0,8x - x)$

Приведем подобные для членов с $x^2$. Общий знаменатель для $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$ равен 6:

$(\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}x^2 - \frac{1}{6}x^2) = (\frac{4}{6}x^2 - \frac{1}{6}x^2) = \frac{3}{6}x^2 = \frac{1}{2}x^2$

Приведем подобные для членов с $x$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Общий знаменатель для $\frac{1}{4}$, $\frac{4}{5}$ и $1$ равен 20:

$(\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5}x + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4}x - \frac{1 \cdot 20}{1 \cdot 20}x) = (\frac{5}{20}x + \frac{16}{20}x - \frac{20}{20}x) = \frac{5 + 16 - 20}{20}x = \frac{1}{20}x$

Соберем полученные результаты:

$\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x$

Ответ: $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x$

в) $y \cdot 2y - 3y - y^2 - 5 + 2yy - y \cdot 5 + y \cdot 7y^2$

Упростим каждый член выражения, выполнив умножение:

$y \cdot 2y = 2y^2$

$2yy = 2y^2$

$y \cdot 5 = 5y$

$y \cdot 7y^2 = 7y^{1+2} = 7y^3$

Подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$2y^2 - 3y - y^2 - 5 + 2y^2 - 5y + 7y^3$

Сгруппируем подобные слагаемые и расположим их по убыванию степеней:

$7y^3 + (2y^2 - y^2 + 2y^2) + (-3y - 5y) - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$7y^3 + (2 - 1 + 2)y^2 + (-3 - 5)y - 5 = 7y^3 + 3y^2 - 8y - 5$

Ответ: $7y^3 + 3y^2 - 8y - 5$

г) $\frac{5}{6}aa + \frac{1}{3}a - 0,6aa + a \cdot 0,1a$

Упростим члены выражения, где есть умножение:

$\frac{5}{6}aa = \frac{5}{6}a^2$

$-0,6aa = -0,6a^2$

$a \cdot 0,1a = 0,1a^2$

Получим выражение:

$\frac{5}{6}a^2 + \frac{1}{3}a - 0,6a^2 + 0,1a^2$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(\frac{5}{6}a^2 - 0,6a^2 + 0,1a^2) + \frac{1}{3}a$

Для сложения коэффициентов при $a^2$ переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ и $0,1 = \frac{1}{10}$.

$(\frac{5}{6} - \frac{3}{5} + \frac{1}{10})a^2$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$(\frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3})a^2 = (\frac{25}{30} - \frac{18}{30} + \frac{3}{30})a^2 = \frac{25 - 18 + 3}{30}a^2 = \frac{10}{30}a^2 = \frac{1}{3}a^2$

Теперь запишем итоговое выражение:

$\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}a$

Ответ: $\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}a$