Номер 29.5, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

29.5 Даны одночлены: $0.5x^2y$; $-xy^2$; $12xy$; $-3x^2y$; $-0.2xy$; $4xy^2$. Составьте из них:

а) многочлен, в котором нет подобных членов;

б) многочлен, в котором есть подобные члены;

в) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все данные одночлены;

г) выражения, которые не являются многочленами.

Даны одночлены: $0,5x^2y$; $-xy^2$; $12xy$; $-3x^2y$; $-0,2xy$; $4xy^2$.

Прежде чем составлять выражения, найдем среди данных одночленов подобные. Подобными называются одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть.

• Одночлены с буквенной частью $x^2y$: $0,5x^2y$ и $-3x^2y$.
• Одночлены с буквенной частью $xy^2$: $-xy^2$ и $4xy^2$.
• Одночлены с буквенной частью $xy$: $12xy$ и $-0,2xy$.

Теперь составим требуемые выражения.

а) многочлен, в котором нет подобных членов;
Чтобы в многочлене не было подобных членов, нужно составить его из одночленов с разной буквенной частью. Для этого возьмем по одному представителю из каждой группы подобных членов. Например, возьмем $0,5x^2y$, $-xy^2$ и $12xy$. Сумма этих одночленов и будет искомым многочленом.
Пример: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$.
Ответ: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$ (возможны и другие варианты, например, $-3x^2y + 4xy^2 - 0,2xy$).

б) многочлен, в котором есть подобные члены;
Чтобы в многочлене были подобные члены, нужно включить в него как минимум два одночлена из одной группы. Например, возьмем два одночлена с буквенной частью $x^2y$ и добавим к ним любой другой одночлен, например, $4xy^2$.
Пример: $0,5x^2y - 3x^2y + 4xy^2$. В этом многочлене $0,5x^2y$ и $-3x^2y$ являются подобными членами.
Ответ: $0,5x^2y - 3x^2y + 4xy^2$ (возможны и другие варианты, например, $12xy - 0,2xy - xy^2$).

в) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все данные одночлены;
Нам нужно разделить все шесть данных одночленов на две группы (два будущих многочлена) так, чтобы в каждой группе не оказалось подобных членов. Это можно сделать, если в каждую группу попадет ровно по одному одночлену из каждой пары подобных.
Разделим пары:
Пара 1: $0,5x^2y$ и $-3x^2y$
Пара 2: $-xy^2$ и $4xy^2$
Пара 3: $12xy$ и $-0,2xy$

Составим первый многочлен, взяв по одному одночлену из каждой пары:
Первый многочлен: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$.

Второй многочлен будет состоять из оставшихся одночленов:
Второй многочлен: $-3x^2y + 4xy^2 - 0,2xy$.
В каждом из этих многочленов буквенные части всех членов различны, значит, подобных членов нет.
Ответ: Первый многочлен: $0,5x^2y - xy^2 + 12xy$; второй многочлен: $-3x^2y + 4xy^2 - 0,2xy$.

г) выражения, которые не являются многочленами.
Многочлен — это сумма одночленов. Выражения, содержащие другие операции, например, деление на одночлен с переменными, не являются многочленами. Составим такие выражения из данных одночленов.
Пример 1: частное двух одночленов.
$\frac{12xy}{-xy^2}$
Это выражение после сокращения равно $-\frac{12}{y}$, оно не является многочленом, так как содержит деление на переменную.

Пример 2: частное от деления суммы одночленов на одночлен.
$(0,5x^2y + 12xy) : (4xy^2)$
Это выражение также не является многочленом.
Ответ: Примерами таких выражений могут быть $\frac{12xy}{-xy^2}$ или $(0,5x^2y + 12xy) : (4xy^2)$.