Страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

10 Подряд выписали числа от 35 до 44. Между цифрами поставили запятые: 3, 5, 3, 6, ..., 4, 3, 4, 4. Какая цифра встретилась чаще всего? Найдите её частоту.

Для решения задачи сначала выпишем все целые числа от 35 до 44 включительно:

35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44.

Теперь составим из этих чисел последовательность цифр, как указано в условии. Всего в ряду 10 чисел, каждое из которых двузначное, значит, в последовательности будет $10 \times 2 = 20$ цифр:

3, 5, 3, 6, 3, 7, 3, 8, 3, 9, 4, 0, 4, 1, 4, 2, 4, 3, 4, 4.

Какая цифра встретилась чаще всего?

Подсчитаем, сколько раз встречается каждая цифра в полученной последовательности (её абсолютную частоту):

Цифра 0: 1 раз (в числе 40)
Цифра 1: 1 раз (в числе 41)
Цифра 2: 1 раз (в числе 42)
Цифра 3: 6 раз (в числах 35, 36, 37, 38, 39 и 43)
Цифра 4: 6 раз (в числах 40, 41, 42, 43 и дважды в 44)
Цифра 5: 1 раз (в числе 35)
Цифра 6: 1 раз (в числе 36)
Цифра 7: 1 раз (в числе 37)
Цифра 8: 1 раз (в числе 38)
Цифра 9: 1 раз (в числе 39)

Сравнивая количество появлений каждой цифры, мы видим, что максимальное значение — 6. Этой частоте соответствуют две цифры: 3 и 4.

Ответ: Чаще всего встретились цифры 3 и 4.

Найдите её частоту.

Как было установлено при подсчете, наибольшая частота (количество появлений) в данной последовательности составляет 6.

Ответ: Частота этих цифр равна 6.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5

Вариант 2

1 Приведите одночлен $ (-1.5x^2y) \cdot 4xy^3 \cdot \left(-2\frac{1}{3}x^5y^6z\right) $ к стандартному виду.

1. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить все числовые коэффициенты и степени с одинаковыми переменными. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных.

Исходное выражение: $(-1,5x^2y) \cdot 4xy^3 \cdot (-2\frac{1}{3}x^5y^6z)$.

Сначала сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$(-1,5 \cdot 4 \cdot (-2\frac{1}{3})) \cdot (x^2 \cdot x \cdot x^5) \cdot (y \cdot y^3 \cdot y^6) \cdot z$

1. Вычислим произведение числовых коэффициентов. Для удобства преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби:

$-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$

$-2\frac{1}{3} = -(\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{7}{3}$

Теперь перемножим коэффициенты:

$(-1,5) \cdot 4 \cdot (-2\frac{1}{3}) = (-\frac{3}{2}) \cdot 4 \cdot (-\frac{7}{3})$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому:

$\frac{3}{2} \cdot 4 \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{2 \cdot 3}$

Сокращаем дробь:

$\frac{\cancel{3} \cdot 4 \cdot 7}{2 \cdot \cancel{3}} = \frac{4 \cdot 7}{2} = 2 \cdot 7 = 14$

2. Теперь перемножим переменные, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Учтем, что $x = x^1$ и $y = y^1$.

Для переменной $x$:

$x^2 \cdot x^1 \cdot x^5 = x^{2+1+5} = x^8$

Для переменной $y$:

$y^1 \cdot y^3 \cdot y^6 = y^{1+3+6} = y^{10}$

Переменная $z$ встречается один раз, поэтому она остается без изменений.

3. Соединим полученный коэффициент и переменные в алфавитном порядке, чтобы получить одночлен в стандартном виде.

$14x^8y^{10}z$

Ответ: $14x^8y^{10}z$

2 Дан одночлен $-\frac{3}{7} x^2 y^3 z^2$. Запишите одночлен, который в сумме с данным даёт одночлен $x^2 y^3 z^2$.

Обозначим искомый одночлен через $A$. Согласно условию задачи, сумма данного одночлена и искомого одночлена $A$ равна $x^2y^3z^2$. Мы можем записать это в виде уравнения:

$-\frac{3}{7}x^2y^3z^2 + A = x^2y^3z^2$

Чтобы найти неизвестный одночлен $A$, нам нужно выразить его из этого уравнения. Для этого вычтем из обеих частей уравнения одночлен $-\frac{3}{7}x^2y^3z^2$, что эквивалентно его переносу в правую часть с изменением знака:

$A = x^2y^3z^2 - (-\frac{3}{7}x^2y^3z^2)$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного:

$A = x^2y^3z^2 + \frac{3}{7}x^2y^3z^2$

Мы имеем дело с подобными одночленами, так как их буквенная часть ($x^2y^3z^2$) одинакова. Для их сложения необходимо сложить их числовые коэффициенты. Коэффициент одночлена $x^2y^3z^2$ равен $1$.

$A = (1 + \frac{3}{7})x^2y^3z^2$

Приведем $1$ к общему знаменателю с дробью $\frac{3}{7}$:

$1 = \frac{7}{7}$

Теперь выполним сложение коэффициентов:

$A = (\frac{7}{7} + \frac{3}{7})x^2y^3z^2 = \frac{7+3}{7}x^2y^3z^2 = \frac{10}{7}x^2y^3z^2$

Таким образом, искомый одночлен равен $\frac{10}{7}x^2y^3z^2$.

Ответ: $\frac{10}{7}x^2y^3z^2$

3 Представьте одночлен $5,3a^5b^2c$ в виде суммы одночленов:

а) с одинаковыми по знаку коэффициентами;

б) с разными по знаку коэффициентами.

а) с одинаковыми по знаку коэффициентами;

Чтобы представить одночлен $5.3a^5b^2c$ в виде суммы одночленов, необходимо, чтобы все слагаемые были подобными, то есть имели одинаковую буквенную часть $a^5b^2c$. Сумма их коэффициентов должна равняться исходному коэффициенту $5.3$.

Для того чтобы коэффициенты слагаемых имели одинаковый знак, мы должны разбить положительное число $5.3$ на сумму нескольких положительных чисел (так как сумма отрицательных чисел будет отрицательной). Существует бесконечное множество способов это сделать. Выберем один из них.

Например, представим коэффициент $5.3$ в виде суммы двух положительных чисел:

$5.3 = 2.3 + 3$

Теперь запишем исходный одночлен как сумму двух одночленов с этими коэффициентами:

$5.3a^5b^2c = (2.3 + 3)a^5b^2c = 2.3a^5b^2c + 3a^5b^2c$

Коэффициенты $2.3$ и $3$ оба положительные, то есть имеют одинаковый знак, что соответствует условию задачи.

Ответ: $2.3a^5b^2c + 3a^5b^2c$

б) с разными по знаку коэффициентами.

Чтобы представить одночлен в виде суммы одночленов с коэффициентами разных знаков, необходимо представить коэффициент $5.3$ в виде алгебраической суммы чисел, среди которых есть и положительные, и отрицательные. Таких вариантов также бесконечное множество.

Возьмем в качестве одного из слагаемых любое число, например, положительное число $10$. Затем найдем второе слагаемое, которое в сумме с первым даст $5.3$.

$10 + x = 5.3$

$x = 5.3 - 10$

$x = -4.7$

Таким образом, мы можем представить коэффициент $5.3$ как сумму $10$ и $-4.7$. Эти числа имеют разные знаки.

Тогда исходный одночлен можно записать в виде следующей суммы (или разности):

$5.3a^5b^2c = (10 - 4.7)a^5b^2c = 10a^5b^2c - 4.7a^5b^2c$

Коэффициенты $10$ (положительный) и $-4.7$ (отрицательный) имеют разные знаки, что соответствует условию задачи.

Ответ: $10a^5b^2c - 4.7a^5b^2c$

4. Решите уравнение $2.05x^6 - 3.07x^6 + 1.03x^6 = 0.01$.

Данное уравнение $2.05x^6 - 3.07x^6 + 1.03x^6 = 0.01$ является алгебраическим уравнением шестой степени. Для его решения сгруппируем члены, содержащие $x^6$, вынеся общий множитель за скобки.

$(2.05 - 3.07 + 1.03)x^6 = 0.01$

Теперь вычислим значение выражения в скобках, выполнив арифметические действия с коэффициентами:

$2.05 + 1.03 - 3.07 = 3.08 - 3.07 = 0.01$

После подстановки полученного значения в уравнение оно примет следующий вид:

$0.01 \cdot x^6 = 0.01$

Чтобы найти $x^6$, разделим обе части уравнения на $0.01$:

$x^6 = \frac{0.01}{0.01}$

$x^6 = 1$

Получили простейшее уравнение $x^6 = 1$. Так как показатель степени ($6$) является четным числом, а значение в правой части ($1$) положительно, уравнение имеет два действительных корня.

Первый корень: $x_1 = \sqrt[6]{1} = 1$.

Второй корень: $x_2 = -\sqrt[6]{1} = -1$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются числа $1$ и $-1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

5 Упростите выражение $- \left(\frac{3}{7} x^2 y^3\right)^2 \cdot \left(-2\frac{1}{3} xy^3\right)^3$

Для упрощения данного выражения выполним последовательно все необходимые алгебраические операции. Исходное выражение:

$$ - \left(\frac{3}{7} x^2 y^3\right)^2 \cdot \left(-2\frac{1}{3} xy^3\right)^3 $$

1. Возведение в степень первого множителя.

Возводим в квадрат каждый элемент внутри скобок. Знак минус перед скобкой остается. Используем свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$$ - \left(\frac{3}{7} x^2 y^3\right)^2 = - \left(\left(\frac{3}{7}\right)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2\right) = - \left(\frac{3^2}{7^2} \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{3 \cdot 2}\right) = -\frac{9}{49} x^4 y^6 $$

2. Возведение в степень второго множителя.

Сначала преобразуем смешанное число $-2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$$ -2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3} $$

Теперь возводим полученную дробь вместе с переменными в третью степень. Так как степень нечетная (3), отрицательный знак сохраняется:

$$ \left(-\frac{7}{3} xy^3\right)^3 = \left(-\frac{7}{3}\right)^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = -\frac{7^3}{3^3} \cdot x^3 \cdot y^{3 \cdot 3} = -\frac{343}{27} x^3 y^9 $$

3. Умножение результатов.

Теперь перемножим выражения, полученные на первых двух шагах:

$$ \left(-\frac{9}{49} x^4 y^6\right) \cdot \left(-\frac{343}{27} x^3 y^9\right) $$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим числовые коэффициенты и переменные отдельно.

Умножение коэффициентов (с сокращением):

$$ \frac{9}{49} \cdot \frac{343}{27} = \frac{9 \cdot 343}{49 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 7^3}{7^2 \cdot (3 \cdot 9)} = \frac{7}{3} $$

Умножение переменных (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$$ x^4 \cdot x^3 = x^{4+3} = x^7 $$

$$ y^6 \cdot y^9 = y^{6+9} = y^{15} $$

4. Итоговый результат.

Объединяем полученные части:

$$ \frac{7}{3} x^7 y^{15} $$

Ответ: $ \frac{7}{3} x^7 y^{15} $

6 Замените символ * таким одночленом, чтобы выполнялось равенство

$\frac{3}{4}ab^2 \cdot * = 4a^4b^5.$

Для того чтобы найти одночлен, который нужно подставить вместо символа *, необходимо выразить этот неизвестный множитель из данного равенства. Обозначим искомый одночлен за M. Исходное равенство примет вид:

$\frac{3}{4}ab^2 \cdot M = 4a^4b^5$

Чтобы найти M, нужно разделить произведение (правую часть равенства) на известный множитель (левую часть равенства):

$M = \frac{4a^4b^5}{\frac{3}{4}ab^2}$

Для упрощения этого выражения разделим его на две части: числовые коэффициенты и переменные.

1. Найдем числовой коэффициент, разделив 4 на $\frac{3}{4}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$4 \div \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$

2. Найдем часть с переменными, разделив $a^4b^5$ на $ab^2$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (согласно свойству $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

Для переменной a:

$\frac{a^4}{a} = a^{4-1} = a^3$

Для переменной b:

$\frac{b^5}{b^2} = b^{5-2} = b^3$

Таким образом, переменная часть искомого одночлена равна $a^3b^3$.

Теперь объединим числовой коэффициент и переменную часть:

$M = \frac{16}{3}a^3b^3$

Проверим, подставив найденный одночлен в исходное равенство:

$\frac{3}{4}ab^2 \cdot (\frac{16}{3}a^3b^3) = (\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3}) \cdot (a \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^3) = \frac{48}{12} \cdot a^{1+3} \cdot b^{2+3} = 4a^4b^5$

Результат совпадает с правой частью исходного равенства, значит, решение найдено верно.

Ответ: $\frac{16}{3}a^3b^3$

7 Представьте в виде квадрата или куба некоторого одночлена:

а) $3 \frac{1}{16} a^6 d^4 c^8$;

б) $0,008 u^{15} v^3$.

а) Чтобы представить одночлен $3 \frac{1}{16} a^6 d^4 c^8$ в виде квадрата или куба, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$3 \frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48 + 1}{16} = \frac{49}{16}$.

Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{49}{16} a^6 d^4 c^8$.

Теперь проверим, можно ли представить этот одночлен в виде квадрата. Для этого коэффициент должен быть полным квадратом, а показатели степеней всех переменных должны быть четными (делиться на 2).

• Коэффициент: $\frac{49}{16} = (\frac{7}{4})^2$. Условие выполняется.
• Показатель степени у $a$: $6$. Четное.
• Показатель степени у $d$: $4$. Четное.
• Показатель степени у $c$: $8$. Четное.

Все условия выполняются, значит, выражение можно представить в виде квадрата. Найдем одночлен, который при возведении в квадрат дает исходное выражение. Для этого извлечем квадратный корень из коэффициента и разделим каждый показатель степени на 2.

$\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}$

Новая степень для $a$: $6 \div 2 = 3$.

Новая степень для $d$: $4 \div 2 = 2$.

Новая степень для $c$: $8 \div 2 = 4$.

Искомый одночлен: $\frac{7}{4} a^3 d^2 c^4$.

Тогда исходное выражение в виде квадрата: $(\frac{7}{4} a^3 d^2 c^4)^2$.

Ответ: $(\frac{7}{4} a^3 d^2 c^4)^2$.

б) Рассмотрим одночлен $0,008 u^{15} v^3$.

Проверим, можно ли представить его в виде куба. Для этого коэффициент должен быть полным кубом, а показатели степеней всех переменных должны делиться на 3.

• Коэффициент: $0,008 = \frac{8}{1000} = (\frac{2}{10})^3 = (0,2)^3$. Условие выполняется.
• Показатель степени у $u$: $15$. Делится на 3 ($15 \div 3 = 5$).
• Показатель степени у $v$: $3$. Делится на 3 ($3 \div 3 = 1$).

Все условия выполняются, значит, выражение можно представить в виде куба. Найдем одночлен, который при возведении в куб дает исходное выражение. Для этого извлечем кубический корень из коэффициента и разделим каждый показатель степени на 3.

$\sqrt[3]{0,008} = 0,2$

Новая степень для $u$: $15 \div 3 = 5$.

Новая степень для $v$: $3 \div 3 = 1$.

Искомый одночлен: $0,2 u^5 v$.

Тогда исходное выражение в виде куба: $(0,2 u^5 v)^3$.

Ответ: $(0,2 u^5 v)^3$.

8 Найдите значение выражения $(\frac{1}{2} a^2b)^3 \cdot (4ab^3)^2$, если $a = \frac{1}{2}$, $b = -2$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней: $(xy)^n = x^ny^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

Исходное выражение: $(\frac{1}{2}a^2b)^3 \cdot (4ab^3)^2$.

1. Упростим первый множитель:

$(\frac{1}{2}a^2b)^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{8}a^{2 \cdot 3}b^3 = \frac{1}{8}a^6b^3$.

2. Упростим второй множитель:

$(4ab^3)^2 = 4^2 \cdot a^2 \cdot (b^3)^2 = 16a^2b^{3 \cdot 2} = 16a^2b^6$.

3. Перемножим упрощенные части:

$(\frac{1}{8}a^6b^3) \cdot (16a^2b^6)$.

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и применим свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(\frac{1}{8} \cdot 16) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^6) = 2 \cdot a^{6+2} \cdot b^{3+6} = 2a^8b^9$.

4. Подставим значения переменных в упрощенное выражение:

Теперь в выражение $2a^8b^9$ подставим заданные значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = -2$.

$2 \cdot (\frac{1}{2})^8 \cdot (-2)^9$.

5. Вычислим итоговое значение:

Так как $b = -2$, то нечетная степень $b^9$ будет отрицательным числом.

$2 \cdot (\frac{1}{2})^8 \cdot (-2)^9 = 2 \cdot \frac{1}{2^8} \cdot (-(2^9)) = - \frac{2^1 \cdot 2^9}{2^8}$.

Применяя свойства степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получаем:

$- \frac{2^{1+9}}{2^8} = - \frac{2^{10}}{2^8} = -2^{10-8} = -2^2 = -4$.

Ответ: -4

9 Упростите выражение $\frac{(1.3a^4b^2)^3}{(-2.6ab)^2 \cdot 5a^4b}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно выполнить действия с числителем и знаменателем, применяя свойства степеней.
Исходное выражение:
$$ \frac{(1,3a^4b^2)^3}{(-2,6ab)^2 \cdot 5a^4b} $$
1. Упростим числитель. Возведем каждый множитель в куб, используя правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:
$$ (1,3a^4b^2)^3 = (1,3)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^2)^3 = 2,197 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 2,197a^{12}b^6 $$
2. Упростим знаменатель. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках. Знак минус исчезает, так как степень четная:
$$ (-2,6ab)^2 = (-2,6)^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 6,76a^2b^2 $$Теперь умножим полученный результат на оставшуюся часть знаменателя, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$$ (6,76a^2b^2) \cdot (5a^4b) = (6,76 \cdot 5) \cdot (a^2 \cdot a^4) \cdot (b^2 \cdot b^1) = 33,8 \cdot a^{2+4} \cdot b^{2+1} = 33,8a^6b^3 $$
3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$$ \frac{2,197a^{12}b^6}{33,8a^6b^3} $$
4. Выполним деление. Разделим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$$ \frac{2,197}{33,8} \cdot \frac{a^{12}}{a^6} \cdot \frac{b^6}{b^3} = 0,065 \cdot a^{12-6} \cdot b^{6-3} = 0,065a^6b^3 $$
Ответ: $0,065a^6b^3$

10 Подряд выписали числа от 27 до 36. Между цифрами поставили запятые: 2, 7, 2, 8, ..., 3, 5, 3, 6. Какая цифра встретилась чаще всего? Найдите её частоту.

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, необходимо последовательно выписать все числа от 27 до 36 и проанализировать составляющие их цифры.

Ряд чисел: 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36.

Теперь составим из этих чисел одну последовательность цифр, как указано в условии:

2, 7, 2, 8, 2, 9, 3, 0, 3, 1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6.

Какая цифра встретилась чаще всего?

Чтобы ответить на этот вопрос, подсчитаем частоту (количество появлений) каждой цифры в полученной последовательности:

• Цифра 0: встречается 1 раз
• Цифра 1: встречается 1 раз
• Цифра 2: встречается 4 раза
• Цифра 3: встречается 8 раз
• Цифра 4: встречается 1 раз
• Цифра 5: встречается 1 раз
• Цифра 6: встречается 1 раз
• Цифра 7: встречается 1 раз
• Цифра 8: встречается 1 раз
• Цифра 9: встречается 1 раз

Сравнивая полученные значения, мы видим, что цифра 3 встречается чаще всех остальных.

Ответ: Чаще всего встретилась цифра 3.

Найдите её частоту.

Частота — это количество повторений элемента в наборе данных. Как было установлено в предыдущем пункте, цифра 3 встречается в данной последовательности 8 раз.

Ответ: Частота цифры 3 равна 8.