Номер 29.15, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

29.15 Дан многочлен $p(y) = 9y^4 + 3y^2 - 2y^3 - y - 8y^4 - 3y^2 + 2.$

а) Приведите многочлен $p(y)$ к стандартному виду.

б) Вычислите $p(1), p(-1), p(2), p(\frac{1}{2}).$

а) Приведите многочлен p(y) к стандартному виду.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо сгруппировать и сложить подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени), а затем расположить их в порядке убывания степеней переменной.
Исходный многочлен: $p(y) = 9y^4 + 3y^2 - 2y^3 - y - 8y^4 - 3y^2 + 2$.
Сгруппируем подобные члены:
$p(y) = (9y^4 - 8y^4) - 2y^3 + (3y^2 - 3y^2) - y + 2$
Выполним действия в скобках:
$9y^4 - 8y^4 = (9-8)y^4 = y^4$
$3y^2 - 3y^2 = (3-3)y^2 = 0 \cdot y^2 = 0$
Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение и расположим члены по убыванию степеней:
$p(y) = y^4 - 2y^3 - y + 2$
Это и есть стандартный вид многочлена.
Ответ: $p(y) = y^4 - 2y^3 - y + 2$.

б) Вычислите p(1), p(-1), p(2), p(1/2).
Для вычислений будем использовать многочлен, приведенный к стандартному виду: $p(y) = y^4 - 2y^3 - y + 2$.

1. Вычислим $p(1)$, подставив $y=1$ в многочлен:
$p(1) = (1)^4 - 2(1)^3 - 1 + 2 = 1 - 2 \cdot 1 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$.

2. Вычислим $p(-1)$, подставив $y=-1$ в многочлен:
$p(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - (-1) + 2 = 1 - 2 \cdot (-1) + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2 = 6$.

3. Вычислим $p(2)$, подставив $y=2$ в многочлен:
$p(2) = (2)^4 - 2(2)^3 - 2 + 2 = 16 - 2 \cdot 8 - 2 + 2 = 16 - 16 - 2 + 2 = 0$.

4. Вычислим $p(\frac{1}{2})$, подставив $y=\frac{1}{2}$ в многочлен:
$p(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} - \frac{2}{8} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$.
Приведем все члены к общему знаменателю 16:
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{4}{16} - \frac{8}{16} + \frac{32}{16} = \frac{1 - 4 - 8 + 32}{16} = \frac{21}{16}$.

Ответ: $p(1) = 0$; $p(-1) = 6$; $p(2) = 0$; $p(\frac{1}{2}) = \frac{21}{16}$.