Номер 29.22, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

29.22 Приведите многочлен $p(x)$ к стандартному виду и найдите, при каких значениях переменной $p(x) = 1$:

a) $0,6x^3 + 7,2x^2 + 0,4x - 5x^2 + 0,4x^3 - 2,2x^2 - 0,4x$;

б) $3x^4 - x^2 + 3x + x + x^2 - 2x^4 - 4x + 1$;

в) $4,6x^3 - x^2 + 4,4x^3 + 0,2x + x^2 + 1,7x - x^3 - 1,9x$;

г) $2x^3 + 3x^2 - 0,1x - 4x^2 - 1,8x^3 + 0,1x + 2x^2 - 0,2x^3 - 3$.

а) Сначала приведем многочлен к стандартному виду. Для этого сгруппируем и сложим подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени):
$p(x) = 0,6x³ + 7,2x² + 0,4x - 5x² + 0,4x³ - 2,2x² - 0,4x$
$p(x) = (0,6x³ + 0,4x³) + (7,2x² - 5x² - 2,2x²) + (0,4x - 0,4x)$
$p(x) = 1x³ + (7,2 - 5 - 2,2)x² + (0,4 - 0,4)x$
$p(x) = x³ + 0 \cdot x² + 0 \cdot x$
Стандартный вид многочлена: $p(x) = x³$.
Теперь найдем, при каких значениях переменной $p(x) = 1$:
$x³ = 1$
$x = \sqrt[3]{1}$
$x = 1$
Ответ: стандартный вид $p(x) = x³$; $p(x) = 1$ при $x = 1$.

б) Приведем многочлен к стандартному виду, сгруппировав и упростив подобные члены:
$p(x) = 3x⁴ - x² + 3x + x + x² - 2x⁴ - 4x + 1$
$p(x) = (3x⁴ - 2x⁴) + (-x² + x²) + (3x + x - 4x) + 1$
$p(x) = 1x⁴ + 0 \cdot x² + (4 - 4)x + 1$
Стандартный вид многочлена: $p(x) = x⁴ + 1$.
Теперь найдем, при каких значениях переменной $p(x) = 1$:
$x⁴ + 1 = 1$
$x⁴ = 1 - 1$
$x⁴ = 0$
$x = 0$
Ответ: стандартный вид $p(x) = x⁴ + 1$; $p(x) = 1$ при $x = 0$.

в) Приведем многочлен к стандартному виду, сгруппировав и упростив подобные члены:
$p(x) = 4,6x³ - x² + 4,4x³ + 0,2x + x² + 1,7x - x³ - 1,9x$
$p(x) = (4,6x³ + 4,4x³ - x³) + (-x² + x²) + (0,2x + 1,7x - 1,9x)$
$p(x) = (9 - 1)x³ + 0 \cdot x² + (1,9 - 1,9)x$
Стандартный вид многочлена: $p(x) = 8x³$.
Теперь найдем, при каких значениях переменной $p(x) = 1$:
$8x³ = 1$
$x³ = \frac{1}{8}$
$x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$
$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0,5$
Ответ: стандартный вид $p(x) = 8x³$; $p(x) = 1$ при $x = 0,5$.

г) Приведем многочлен к стандартному виду, сгруппировав и упростив подобные члены:
$p(x) = 2x³ + 3x² - 0,1x - 4x² - 1,8x³ + 0,1x + 2x² - 0,2x³ - 3$
$p(x) = (2x³ - 1,8x³ - 0,2x³) + (3x² - 4x² + 2x²) + (-0,1x + 0,1x) - 3$
$p(x) = (2 - 1,8 - 0,2)x³ + (3 - 4 + 2)x² + 0 - 3$
$p(x) = 0 \cdot x³ + 1x² - 3$
Стандартный вид многочлена: $p(x) = x² - 3$.
Теперь найдем, при каких значениях переменной $p(x) = 1$:
$x² - 3 = 1$
$x² = 1 + 3$
$x² = 4$
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Ответ: стандартный вид $p(x) = x² - 3$; $p(x) = 1$ при $x = 2$ и $x = -2$.