Номер 29.21, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

29.21 Дан многочлен $p(a; b) = a^3 + 5a^2b + 2ab^2 + b^3 + ab^2 - 2a^2b$.

а) Приведите многочлен $p(a; b)$ к стандартному виду.

б) Вычислите $p(1; 1), p(-1; 1), p(1; -2), p(-1; -2)$.

а) Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо найти и сложить подобные члены. В исходном многочлене $p(a; b) = a^3 + 5a^2b + 2ab^2 + b^3 + ab^2 - 2a^2b$ есть две группы подобных членов: это члены с $a^2b$ ($5a^2b$ и $-2a^2b$) и члены с $ab^2$ ($2ab^2$ и $ab^2$).
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$p(a; b) = a^3 + (5a^2b - 2a^2b) + (2ab^2 + ab^2) + b^3$
Выполним действия в скобках:
$5a^2b - 2a^2b = (5-2)a^2b = 3a^2b$
$2ab^2 + ab^2 = (2+1)ab^2 = 3ab^2$
Теперь подставим полученные одночлены обратно в выражение для многочлена:
$p(a; b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Это и есть стандартный вид многочлена. Стоит отметить, что полученное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно кубом суммы: $(a+b)^3$.
Ответ: $p(a; b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

б) Для вычисления значений многочлена удобнее всего использовать его упрощенную форму, полученную в пункте а): $p(a; b) = (a+b)^3$. Подставим в нее заданные значения $a$ и $b$.

• При $a=1, b=1$:
  $p(1; 1) = (1 + 1)^3 = 2^3 = 8$.
• При $a=-1, b=1$:
  $p(-1; 1) = (-1 + 1)^3 = 0^3 = 0$.
• При $a=1, b=-2$:
  $p(1; -2) = (1 + (-2))^3 = (1 - 2)^3 = (-1)^3 = -1$.
• При $a=-1, b=-2$:
  $p(-1; -2) = (-1 + (-2))^3 = (-1 - 2)^3 = (-3)^3 = -27$.

Ответ: $p(1; 1) = 8$; $p(-1; 1) = 0$; $p(1; -2) = -1$; $p(-1; -2) = -27$.