Номер 29.20, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

29.20 Дан многочлен $p(a; b) = 2a^2 - 3ab + b^2 - ab - a^2$.

a) Приведите многочлен $p(a; b)$ к стандартному виду.

б) Вычислите $p(1; 2)$, $p(1; -1)$, $p(2; 2)$, $p(-1; 2)$.

а) Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо сгруппировать и сложить подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью).

Исходный многочлен: $p(a; b) = 2a^2 - 3ab + b^2 - ab - a^2$.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены, содержащие $a^2$: $2a^2$ и $-a^2$.

2. Члены, содержащие $ab$: $-3ab$ и $-ab$.

3. Члены, содержащие $b^2$: $b^2$.

Теперь выполним сложение в каждой группе:

$p(a; b) = (2a^2 - a^2) + (-3ab - ab) + b^2 = a^2 - 4ab + b^2$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде выглядит так: $p(a; b) = a^2 - 4ab + b^2$.

Ответ: $p(a; b) = a^2 - 4ab + b^2$.

б) Для вычисления значений многочлена будем использовать его стандартный вид: $p(a; b) = a^2 - 4ab + b^2$.

1. Вычислим $p(1; 2)$, подставив $a=1$ и $b=2$:

$p(1; 2) = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 + (2)^2 = 1 - 8 + 4 = -3$.

2. Вычислим $p(1; -1)$, подставив $a=1$ и $b=-1$:

$p(1; -1) = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.

3. Вычислим $p(2; 2)$, подставив $a=2$ и $b=2$:

$p(2; 2) = (2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 + (2)^2 = 4 - 16 + 4 = -8$.

4. Вычислим $p(-1; 2)$, подставив $a=-1$ и $b=2$:

$p(-1; 2) = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 + (2)^2 = 1 - (-8) + 4 = 1 + 8 + 4 = 13$.

Ответ: $p(1; 2) = -3$; $p(1; -1) = 6$; $p(2; 2) = -8$; $p(-1; 2) = 13$.