Номер 29.25, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

29.25 a) Дан многочлен $p(x; y) = 7x + 4y - 11$. Считая, что $y = 3x^2 - 2x + 5$, преобразуйте $p(x; y)$ так, чтобы получился многочлен от одной переменной $x$, и приведите его к стандартному виду.

б) Дан многочлен $p(a; b) = 13a + 6b - 7$. Считая, что $b = 4 - a^2 + 3a$, преобразуйте $p(a; b)$ так, чтобы получился многочлен от одной переменной $a$, и приведите его к стандартному виду.

а) Чтобы преобразовать многочлен $p(x; y) = 7x + 4y - 11$ в многочлен от одной переменной $x$, необходимо подставить в него выражение для $y$, то есть $y = 3x^2 - 2x + 5$.

Выполним подстановку:

$p(x) = 7x + 4(3x^2 - 2x + 5) - 11$

Далее, раскроем скобки, умножив коэффициент 4 на каждый член многочлена в скобках:

$p(x) = 7x + 4 \cdot 3x^2 + 4 \cdot (-2x) + 4 \cdot 5 - 11$

$p(x) = 7x + 12x^2 - 8x + 20 - 11$

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковой степенью переменной $x$ и свободные члены:

$p(x) = 12x^2 + (7x - 8x) + (20 - 11)$

Выполним вычисления в скобках:

$p(x) = 12x^2 - x + 9$

Полученный многочлен $12x^2 - x + 9$ является многочленом от одной переменной $x$ и приведен к стандартному виду, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $12x^2 - x + 9$.

б) Дан многочлен $p(a; b) = 13a + 6b - 7$. Чтобы получить многочлен от одной переменной $a$, подставим в него выражение $b = 4 - a^2 + 3a$.

Выполним подстановку:

$p(a) = 13a + 6(4 - a^2 + 3a) - 7$

Раскроем скобки, умножив 6 на каждый член в скобках:

$p(a) = 13a + 6 \cdot 4 + 6 \cdot (-a^2) + 6 \cdot 3a - 7$

$p(a) = 13a + 24 - 6a^2 + 18a - 7$

Приведем подобные слагаемые. Для приведения к стандартному виду расположим члены в порядке убывания степени переменной $a$:

$p(a) = -6a^2 + (13a + 18a) + (24 - 7)$

Выполним вычисления в скобках:

$p(a) = -6a^2 + 31a + 17$

Полученный многочлен $-6a^2 + 31a + 17$ является многочленом от одной переменной $a$, приведенным к стандартному виду.

Ответ: $-6a^2 + 31a + 17$.