Номер 29.14, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

29.14 Дан многочлен $p(x) = 7x^3 - x + 2x^2 - 5x^3 + x^2 - x - 3.$

a) Приведите многочлен $p(x)$ к стандартному виду.

б) Вычислите $p(1), p(-1), p(2), p(\frac{1}{2}).$

а) Приведите многочлен p(x) к стандартному виду.

Дан многочлен $p(x) = 7x^3 - x + 2x^2 - 5x^3 + x^2 - x - 3$.
Для приведения многочлена к стандартному виду необходимо найти и сложить подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени), а затем расположить их в порядке убывания степеней переменной.

Сгруппируем подобные члены:
$p(x) = (7x^3 - 5x^3) + (2x^2 + x^2) + (-x - x) - 3$

Выполним действия в каждой группе:
$p(x) = (7-5)x^3 + (2+1)x^2 + (-1-1)x - 3$
$p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$

Ответ: $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$.

б) Вычислите $p(1)$, $p(-1)$, $p(2)$, $p(\frac{1}{2})$.

Для вычислений используем многочлен в стандартном виде: $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$.

Вычислим значение $p(1)$, подставив $x = 1$ в многочлен:
$p(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 2(1) - 3 = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 2 - 3 = 2 + 3 - 2 - 3 = 0$.

Вычислим значение $p(-1)$, подставив $x = -1$ в многочлен:
$p(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 - (-2) - 3 = -2 + 3 + 2 - 3 = 0$.

Вычислим значение $p(2)$, подставив $x = 2$ в многочлен:
$p(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 2(2) - 3 = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 - 4 - 3 = 16 + 12 - 4 - 3 = 28 - 7 = 21$.

Вычислим значение $p(\frac{1}{2})$, подставив $x = \frac{1}{2}$ в многочлен:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + 3(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 3 = \frac{2}{8} + \frac{3}{4} - 4 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 4 = \frac{4}{4} - 4 = 1 - 4 = -3$.

Ответ: $p(1)=0$; $p(-1)=0$; $p(2)=21$; $p(\frac{1}{2})=-3$.