Номер 28.3, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

28.3 Требуется найти значение одночлена $2a^2 \cdot b^3$, если $a$ принимает значения $-1, 0, 1$ или $2$, а $b$ принимает значения $0, 1$ или $2$.

а) Для скольких различных пар $(a, b)$ придётся проводить вычисления?

б) Сколько отрицательных чисел будет среди результатов?

в) Сколько нулей будет среди результатов?

г) Какова частота результата $0$?

а) Для скольких различных пар (a, b) придётся проводить вычисления?
По условию, переменная $a$ может принимать 4 различных значения ($-1, 0, 1, 2$), а переменная $b$ может принимать 3 различных значения ($0, 1, 2$).
Чтобы найти общее количество различных пар $(a, b)$, нужно перемножить количество возможных значений для каждой переменной. Это соответствует правилу произведения в комбинаторике.
Количество пар = (количество значений $a$) $\times$ (количество значений $b$) = $4 \times 3 = 12$.
Следовательно, вычисления придётся проводить для 12 различных пар.
Ответ: 12.

б) Сколько отрицательных чисел будет среди результатов?
Рассмотрим выражение $2a^2b^3$. Знак этого выражения зависит от знаков его множителей.
1. Множитель 2 является положительным числом.
2. Множитель $a^2$ является неотрицательным при любом значении $a$, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю ($a^2 \ge 0$).
3. Следовательно, знак всего выражения определяется знаком множителя $b^3$.
Для того чтобы результат был отрицательным, необходимо, чтобы множитель $b^3$ был отрицательным, что возможно только при $b < 0$.
Однако, по условию задачи, переменная $b$ принимает значения из множества $\{0, 1, 2\}$. Ни одно из этих значений не является отрицательным. Значения $b^3$ будут $0^3=0$, $1^3=1$ и $2^3=8$, которые все являются неотрицательными.
Таким образом, произведение $2a^2b^3$ не может быть отрицательным ни для одной из заданных пар $(a, b)$.
Ответ: 0.

в) Сколько нулей будет среди результатов?
Значение выражения $2a^2b^3$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из переменных множителей ($a$ или $b$) равен нулю.
Рассмотрим все случаи, когда это происходит:
1. Если $a = 0$. Тогда выражение $2 \cdot 0^2 \cdot b^3 = 0$ для любого значения $b$. Так как $b$ может принимать 3 значения ($0, 1, 2$), мы получаем 3 пары, дающие в результате ноль: $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$.
2. Если $b = 0$. Тогда выражение $2 \cdot a^2 \cdot 0^3 = 0$ для любого значения $a$. Так как $a$ может принимать 4 значения ($-1, 0, 1, 2$), мы получаем 4 пары: $(-1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)$.
Чтобы найти общее количество уникальных пар, при которых результат равен нулю, нужно объединить множества пар из обоих случаев. Пара $(0, 0)$ входит в оба списка, поэтому её нужно учесть только один раз.
Уникальные пары: $(-1, 0), (1, 0), (2, 0)$ (когда $b=0$ и $a \ne 0$) и $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$ (когда $a=0$).
Всего получается $3 + 3 = 6$ пар.
Ответ: 6.

г) Какова частота результата 0?
Частота события — это отношение количества исходов, в которых это событие наступило, к общему числу проведенных испытаний.
В данном контексте, событие — это получение результата, равного 0.
Общее число испытаний — это общее количество вычислений для всех пар $(a, b)$, которое равно 12 (согласно пункту а).
Число исходов, в которых результат равен 0, равно 6 (согласно пункту в).
Частота результата 0 вычисляется по формуле: $Частота = \frac{Количество\;нулевых\;результатов}{Общее\;количество\;результатов} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Частоту можно также выразить в виде десятичной дроби $0.5$ или в процентах $50\%$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.