Номер 30.10, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

30.10 Даны три многочлена:

$p_1(x; y) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

$p_2(x; y) = 20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3$

$p_3(x; y) = 10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3$

Найдите:

а) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) + p_3(x; y);$

б) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) + p_3(x; y);$

в) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) - p_3(x; y);$

г) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) - p_3(x; y).$

Даны три многочлена:

$p_1(x; y) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

$p_2(x; y) = 20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3$

$p_3(x; y) = 10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3$

Для нахождения искомых многочленов $p(x; y)$ необходимо выполнить сложение и вычитание данных многочленов, приводя подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью (например, $27x^3$, $20x^3$ и $10x^3$).

а) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) + p_3(x; y)$

Сложим многочлены $p_1$, $p_2$ и $p_3$:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) + (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) + (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3)$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 + 20 + 10 = 57$

Для $x^2y$: $-27 - 15 + 12 = -30$

Для $xy^2$: $9 + 4 - 5 = 8$

Для $y^3$: $-1 - 3 + 1 = -3$

Результат:

$p(x; y) = 57x^3 - 30x^2y + 8xy^2 - 3y^3$

Ответ: $p(x; y) = 57x^3 - 30x^2y + 8xy^2 - 3y^3$

б) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) + p_3(x; y)$

Выполним действия, раскрыв скобки и изменив знаки у членов многочлена $p_2$ на противоположные:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) - (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) + (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 - 20x^3 + 15x^2y - 4xy^2 + 3y^3 + 10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 - 20 + 10 = 17$

Для $x^2y$: $-27 + 15 + 12 = 0$

Для $xy^2$: $9 - 4 - 5 = 0$

Для $y^3$: $-1 + 3 + 1 = 3$

Результат:

$p(x; y) = 17x^3 + 0 \cdot x^2y + 0 \cdot xy^2 + 3y^3 = 17x^3 + 3y^3$

Ответ: $p(x; y) = 17x^3 + 3y^3$

в) $p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) - p_3(x; y)$

Выполним действия, раскрыв скобки и изменив знаки у членов многочлена $p_3$ на противоположные:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) + (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) - (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 + 20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3 - 10x^3 - 12x^2y + 5xy^2 - y^3$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 + 20 - 10 = 37$

Для $x^2y$: $-27 - 15 - 12 = -54$

Для $xy^2$: $9 + 4 + 5 = 18$

Для $y^3$: $-1 - 3 - 1 = -5$

Результат:

$p(x; y) = 37x^3 - 54x^2y + 18xy^2 - 5y^3$

Ответ: $p(x; y) = 37x^3 - 54x^2y + 18xy^2 - 5y^3$

г) $p(x; y) = p_1(x; y) - p_2(x; y) - p_3(x; y)$

Выполним действия, раскрыв скобки и изменив знаки у членов многочленов $p_2$ и $p_3$ на противоположные:

$p(x; y) = (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3) - (20x^3 - 15x^2y + 4xy^2 - 3y^3) - (10x^3 + 12x^2y - 5xy^2 + y^3) = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3 - 20x^3 + 15x^2y - 4xy^2 + 3y^3 - 10x^3 - 12x^2y + 5xy^2 - y^3$

Сгруппируем и сложим коэффициенты при подобных слагаемых:

Для $x^3$: $27 - 20 - 10 = -3$

Для $x^2y$: $-27 + 15 - 12 = -24$

Для $xy^2$: $9 - 4 + 5 = 10$

Для $y^3$: $-1 + 3 - 1 = 1$

Результат:

$p(x; y) = -3x^3 - 24x^2y + 10xy^2 + y^3$

Ответ: $p(x; y) = -3x^3 - 24x^2y + 10xy^2 + y^3$