Номер 31.1, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

31.1 а) $2x(x^2 + 5x + 3);$

б) $-2xy(x^2 + 2xy - y^2);$

в) $3y(y^3 - 3y - 4);$

г) $-5mn(m^3 + 3m^2n - n^3).$

а) Чтобы преобразовать выражение в многочлен стандартного вида, необходимо умножить одночлен, стоящий перед скобками, на каждый член многочлена в скобках (раскрыть скобки), а затем привести подобные слагаемые, если они есть. В данном случае мы используем распределительное свойство умножения.

$2x(x^2 + 5x + 3) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 5x + 2x \cdot 3$

Теперь выполним умножение одночленов:

$2x \cdot x^2 = 2x^{1+2} = 2x^3$

$2x \cdot 5x = (2 \cdot 5) \cdot (x \cdot x) = 10x^2$

$2x \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot x = 6x$

Соберем полученные члены вместе:

$2x^3 + 10x^2 + 6x$

Полученный многочлен уже находится в стандартном виде, так как все его члены записаны в стандартном виде и расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $2x^3 + 10x^2 + 6x$.

б) Умножим одночлен $-2xy$ на каждый член многочлена в скобках $x^2 + 2xy - y^2$.

$-2xy(x^2 + 2xy - y^2) = (-2xy) \cdot x^2 + (-2xy) \cdot (2xy) + (-2xy) \cdot (-y^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(-2xy) \cdot x^2 = -2x^{1+2}y = -2x^3y$

$(-2xy) \cdot (2xy) = (-2 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -4x^2y^2$

$(-2xy) \cdot (-y^2) = (-2) \cdot (-1) \cdot x \cdot (y \cdot y^2) = 2xy^{1+2} = 2xy^3$

Запишем итоговый многочлен:

$-2x^3y - 4x^2y^2 + 2xy^3$

Это многочлен стандартного вида, его члены упорядочены по убыванию степени переменной $x$.

Ответ: $-2x^3y - 4x^2y^2 + 2xy^3$.

в) Умножим одночлен $3y$ на каждый член многочлена $y^3 - 3y - 4$.

$3y(y^3 - 3y - 4) = 3y \cdot y^3 + 3y \cdot (-3y) + 3y \cdot (-4)$

Упростим каждое слагаемое:

$3y \cdot y^3 = 3y^{1+3} = 3y^4$

$3y \cdot (-3y) = -9y^2$

$3y \cdot (-4) = -12y$

Соберем все вместе:

$3y^4 - 9y^2 - 12y$

Многочлен записан в стандартном виде, члены расположены по убыванию степени переменной $y$.

Ответ: $3y^4 - 9y^2 - 12y$.

г) Умножим одночлен $-5mn$ на каждый член многочлена $m^3 + 3m^2n - n^3$.

$-5mn(m^3 + 3m^2n - n^3) = (-5mn) \cdot m^3 + (-5mn) \cdot (3m^2n) + (-5mn) \cdot (-n^3)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(-5mn) \cdot m^3 = -5m^{1+3}n = -5m^4n$

$(-5mn) \cdot (3m^2n) = (-5 \cdot 3) \cdot (m \cdot m^2) \cdot (n \cdot n) = -15m^{1+2}n^{1+1} = -15m^3n^2$

$(-5mn) \cdot (-n^3) = (-5) \cdot (-1) \cdot m \cdot (n \cdot n^3) = 5mn^{1+3} = 5mn^4$

Запишем итоговый многочлен:

$-5m^4n - 15m^3n^2 + 5mn^4$

Это многочлен стандартного вида, его члены упорядочены по убыванию степени переменной $m$.

Ответ: $-5m^4n - 15m^3n^2 + 5mn^4$.