Номер 32.10, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

32.10 а) $(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2);$

б) $(5 - 2a + a^2)(4a^2 - 3a - 1);$

в) $(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2);$

г) $(m^2 - m + 2)(3m^2 + m - 2).$

а)

Данное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это формула сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

В нашем случае, пусть $x=2a$ и $y=3b$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 - 6ab + 9b^2)$ части формулы $(x^2-xy+y^2)$:

$x^2 = (2a)^2 = 4a^2$

$y^2 = (3b)^2 = 9b^2$

$xy = (2a)(3b) = 6ab$

Выражение во второй скобке полностью соответствует формуле. Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2) = (2a)^3 + (3b)^3 = 8a^3 + 27b^3$.

Ответ: $8a^3 + 27b^3$

б)

Для решения этой задачи необходимо перемножить два многочлена. Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(5 - 2a + a^2)(4a^2 - 3a - 1) = 5(4a^2 - 3a - 1) - 2a(4a^2 - 3a - 1) + a^2(4a^2 - 3a - 1)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$(20a^2 - 15a - 5) + (-8a^3 + 6a^2 + 2a) + (4a^4 - 3a^3 - a^2)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням переменной $a$:

$4a^4 + (-8a^3 - 3a^3) + (20a^2 + 6a^2 - a^2) + (-15a + 2a) - 5$

$4a^4 - 11a^3 + 25a^2 - 13a - 5$

Ответ: $4a^4 - 11a^3 + 25a^2 - 13a - 5$

в)

Это выражение является произведением разности двух выражений на их неполный квадрат суммы. Это формула сокращенного умножения для разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.

В данном случае, пусть $x=5x$ и $y=2y$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(25x^2 + 10xy + 4y^2)$ части формулы $(x^2+xy+y^2)$:

$x^2 \rightarrow (5x)^2 = 25x^2$

$y^2 \rightarrow (2y)^2 = 4y^2$

$xy \rightarrow (5x)(2y) = 10xy$

Выражение во второй скобке полностью соответствует формуле. Применим формулу разности кубов:

$(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2) = (5x)^3 - (2y)^3 = 125x^3 - 8y^3$.

Ответ: $125x^3 - 8y^3$

г)

Для упрощения умножения сгруппируем слагаемые в скобках. Перепишем исходное выражение, выделив общую часть $m-2$:

$(m^2 - m + 2)(3m^2 + m - 2) = (m^2 - (m - 2))(3m^2 + (m - 2))$

Пусть $A = m^2$ и $B = m-2$. Тогда выражение принимает вид:

$(A - B)(3A + B)$

Перемножим эти двучлены:

$(A - B)(3A + B) = A(3A+B) - B(3A+B) = 3A^2 + AB - 3AB - B^2 = 3A^2 - 2AB - B^2$

Теперь выполним обратную подстановку, заменив $A$ на $m^2$ и $B$ на $m-2$:

$3(m^2)^2 - 2(m^2)(m-2) - (m-2)^2$

Раскроем скобки и упростим, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$3m^4 - 2m^2(m-2) - (m^2 - 4m + 4)$

$= 3m^4 - (2m^3 - 4m^2) - m^2 + 4m - 4$

$= 3m^4 - 2m^3 + 4m^2 - m^2 + 4m - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3m^4 - 2m^3 + 3m^2 + 4m - 4$

Ответ: $3m^4 - 2m^3 + 3m^2 + 4m - 4$