Номер 32.14, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

Длина прямоугольника на 20 м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 10 м, а ширину увеличить на 6 м, то его площадь увеличится на 12 м$^{2}$. Найдите стороны прямоугольника.

Этап 1: Составление математической модели

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ м. Согласно условию, длина на 20 м больше ширины, следовательно, длина равна $(x + 20)$ м. Площадь исходного прямоугольника $S_1$ составляет $S_1 = x(x + 20)$ м$^2$.

После изменений длина прямоугольника стала $(x + 20) - 10 = (x + 10)$ м, а ширина стала $(x + 6)$ м. Новая площадь $S_2$ составляет $S_2 = (x + 10)(x + 6)$ м$^2$.

По условию задачи, новая площадь на 12 м$^2$ больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 12$. Подставим выражения для площадей и получим уравнение: $(x + 10)(x + 6) = x(x + 20) + 12$. Это уравнение является математической моделью задачи. Так как $x$ обозначает ширину, то $x > 0$.

Этап 2: Работа с математической моделью

Решим полученное уравнение: $(x + 10)(x + 6) = x(x + 20) + 12$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $x^2 + 6x + 10x + 60 = x^2 + 20x + 12$

Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 16x + 60 = x^2 + 20x + 12$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения: $16x + 60 = 20x + 12$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую: $60 - 12 = 20x - 16x$ $48 = 4x$

Найдем $x$: $x = \frac{48}{4}$ $x = 12$

Этап 3: Ответ на вопрос задачи

Полученное значение $x=12$ удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, ширина исходного прямоугольника равна 12 м.

Найдем длину исходного прямоугольника: $12 + 20 = 32$ м.

Проверим найденное решение. Исходная площадь: $S_1 = 12 \text{ м} \times 32 \text{ м} = 384$ м$^2$. Новые размеры: ширина $12 + 6 = 18$ м, длина $32 - 10 = 22$ м. Новая площадь: $S_2 = 18 \text{ м} \times 22 \text{ м} = 396$ м$^2$. Увеличение площади: $S_2 - S_1 = 396 - 384 = 12$ м$^2$, что соответствует условию задачи.

Таким образом, стороны исходного прямоугольника равны 12 м и 32 м.

Ответ: ширина прямоугольника – 12 м, длина – 32 м.