Номер 32.20, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

32.20 Найдите произведение многочленов $P_1 \cdot P_2$, если:

а) $P_1(a) = a^2 + a - 1$; $P_2(a) = a^2 - a + 1;$

б) $P_1(m) = m^2 + 2m - 1$; $P_2(m) = m^2 - 2m + 1;$

в) $P_1(x) = 2x^2 + 3x + 2$; $P_2(x) = -2x^2 + 3x - 2;$

г) $P_1(b) = b^3 + 5b + 3$; $P_2(b) = -b^3 - 5b + 3.$

а) Найдём произведение многочленов $P_1(a) = a^2 + a - 1$ и $P_2(a) = a^2 - a + 1$. Их произведение равно $P_1(a) \cdot P_2(a) = (a^2 + a - 1)(a^2 - a + 1)$. Сгруппируем слагаемые, чтобы применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. Представим произведение в виде $(a^2 + (a - 1))(a^2 - (a - 1))$. Пусть $x=a^2$ и $y=a-1$. Тогда: $(a^2)^2 - (a - 1)^2 = a^4 - (a^2 - 2a + 1) = a^4 - a^2 + 2a - 1$.
Ответ: $a^4 - a^2 + 2a - 1$.

б) Найдём произведение многочленов $P_1(m) = m^2 + 2m - 1$ и $P_2(m) = m^2 - 2m + 1$. Их произведение равно $P_1(m) \cdot P_2(m) = (m^2 + 2m - 1)(m^2 - 2m + 1)$. Сгруппируем слагаемые для применения формулы разности квадратов. Представим произведение в виде $(m^2 + (2m - 1))(m^2 - (2m - 1))$. Пусть $x=m^2$ и $y=2m-1$. Тогда: $(m^2)^2 - (2m - 1)^2 = m^4 - (4m^2 - 4m + 1) = m^4 - 4m^2 + 4m - 1$.
Ответ: $m^4 - 4m^2 + 4m - 1$.

в) Найдём произведение многочленов $P_1(x) = 2x^2 + 3x + 2$ и $P_2(x) = -2x^2 + 3x - 2$. Их произведение равно $P_1(x) \cdot P_2(x) = (2x^2 + 3x + 2)(-2x^2 + 3x - 2)$. Перегруппируем слагаемые в каждом многочлене: $P_1(x) = 3x + (2x^2 + 2)$ и $P_2(x) = 3x - (2x^2 + 2)$. Теперь произведение имеет вид $(3x + (2x^2 + 2))(3x - (2x^2 + 2))$, что соответствует формуле разности квадратов. Пусть $a=3x$ и $b=2x^2+2$. Тогда: $(3x)^2 - (2x^2 + 2)^2 = 9x^2 - ((2x^2)^2 + 2 \cdot 2x^2 \cdot 2 + 2^2) = 9x^2 - (4x^4 + 8x^2 + 4) = 9x^2 - 4x^4 - 8x^2 - 4 = -4x^4 + x^2 - 4$.
Ответ: $-4x^4 + x^2 - 4$.

г) Найдём произведение многочленов $P_1(b) = b^3 + 5b + 3$ и $P_2(b) = -b^3 - 5b + 3$. Их произведение равно $P_1(b) \cdot P_2(b) = (b^3 + 5b + 3)(-b^3 - 5b + 3)$. Перегруппируем слагаемые: $P_1(b) = 3 + (b^3 + 5b)$ и $P_2(b) = 3 - (b^3 + 5b)$. Произведение можно записать как $(3 + (b^3 + 5b))(3 - (b^3 + 5b))$, что является разностью квадратов. Пусть $x=3$ и $y=b^3+5b$. Тогда: $3^2 - (b^3 + 5b)^2 = 9 - ((b^3)^2 + 2 \cdot b^3 \cdot 5b + (5b)^2) = 9 - (b^6 + 10b^4 + 25b^2) = 9 - b^6 - 10b^4 - 25b^2$. Запишем в стандартном виде: $-b^6 - 10b^4 - 25b^2 + 9$.
Ответ: $-b^6 - 10b^4 - 25b^2 + 9$.