Номер 32.22, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 32. Умножение многочлена на многочлен - номер 32.22, страница 144.

Условие.

32.22 Решите уравнение:

а) $(x + 4)(x - 3) + (x - 5)(x + 4) = 0;$

б) $(x^2 - 3)(x + 2) + (x^2 + 3)(x - 2) = 4;$

в) $(x - 4)(x + 3) + (x - 2)(x + 3) = 0;$

г) $(x^2 - 1)(x - 4) + (x^2 + 1)(x + 4) = 6.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дано уравнение $(x + 4)(x - 3) + (x - 5)(x + 4) = 0$.
Видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x+4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4) \cdot ((x - 3) + (x - 5)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:
$(x + 4) \cdot (x - 3 + x - 5) = 0$
$(x + 4) \cdot (2x - 8) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x + 4 = 0 \implies x_1 = -4$
2) $2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x_2 = 4$
Ответ: -4; 4.

б) Дано уравнение $(x^2 - 3)(x + 2) + (x^2 + 3)(x - 2) = 4$.
Раскроем скобки в каждом произведении:
Первое произведение: $(x^2 - 3)(x + 2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = x^3 + 2x^2 - 3x - 6$.
Второе произведение: $(x^2 + 3)(x - 2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) = x^3 - 2x^2 + 3x - 6$.
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(x^3 + 2x^2 - 3x - 6) + (x^3 - 2x^2 + 3x - 6) = 4$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + x^3) + (2x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + (-6 - 6) = 4$
$2x^3 - 12 = 4$
Перенесем -12 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2x^3 = 4 + 12$
$2x^3 = 16$
Разделим обе части на 2:
$x^3 = 8$
Извлечем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{8} = 2$
Ответ: 2.

в) Дано уравнение $(x - 4)(x + 3) + (x - 2)(x + 3) = 0$.
У обоих слагаемых есть общий множитель $(x+3)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 3) \cdot ((x - 4) + (x - 2)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 3) \cdot (x - 4 + x - 2) = 0$
$(x + 3) \cdot (2x - 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
2) $2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x_2 = 3$
Ответ: -3; 3.

г) Дано уравнение $(x^2 - 1)(x - 4) + (x^2 + 1)(x + 4) = 6$.
Раскроем скобки в каждом произведении:
Первое произведение: $(x^2 - 1)(x - 4) = x^3 - 4x^2 - x + 4$.
Второе произведение: $(x^2 + 1)(x + 4) = x^3 + 4x^2 + x + 4$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(x^3 - 4x^2 - x + 4) + (x^3 + 4x^2 + x + 4) = 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + x^3) + (-4x^2 + 4x^2) + (-x + x) + (4 + 4) = 6$
$2x^3 + 8 = 6$
Перенесем 8 в правую часть уравнения:
$2x^3 = 6 - 8$
$2x^3 = -2$
Разделим обе части на 2:
$x^3 = -1$
Извлечем кубический корень:
$x = \sqrt[3]{-1} = -1$
Ответ: -1.