Номер 32.24, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

32.24 Периметр прямоугольника равен 240 см. Если длину прямоугольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см, то его площадь увеличится на 4 $cm^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим длину исходного прямоугольника как $l$ (см), а ширину как $w$ (см).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. По условию, периметр равен 240 см. Составим первое уравнение:

$2(l + w) = 240$
$l + w = 120$

Площадь исходного прямоугольника равна $S_1 = l \cdot w$.

После изменений, длина прямоугольника стала $(l - 14)$ см, а ширина — $(w + 10)$ см. Новая площадь $S_2$ стала равна $(l - 14)(w + 10)$ см².

По условию, новая площадь увеличилась на 4 см², то есть $S_2 = S_1 + 4$. Составим второе уравнение:

$(l - 14)(w + 10) = l \cdot w + 4$

Раскроем скобки в левой части и упростим уравнение:

$lw + 10l - 14w - 140 = lw + 4$
$10l - 14w = 4 + 140$
$10l - 14w = 144$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$5l - 7w = 72$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} l + w = 120 \\ 5l - 7w = 72 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $l$: $l = 120 - w$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5(120 - w) - 7w = 72$
$600 - 5w - 7w = 72$
$600 - 12w = 72$
$12w = 600 - 72$
$12w = 528$
$w = \frac{528}{12}$
$w = 44$

Таким образом, ширина прямоугольника равна 44 см.

Теперь найдем длину, используя выражение $l = 120 - w$:

$l = 120 - 44 = 76$

Длина прямоугольника равна 76 см.

Проверим найденные значения.
Периметр: $2(76 + 44) = 2(120) = 240$ см.
Исходная площадь: $S_1 = 76 \cdot 44 = 3344$ см².
Новые размеры: длина $76 - 14 = 62$ см, ширина $44 + 10 = 54$ см.
Новая площадь: $S_2 = 62 \cdot 54 = 3348$ см².
Разница площадей: $S_2 - S_1 = 3348 - 3344 = 4$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 76 см и 44 см.