Номер 32.27, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

32.27 Из четырёх чисел второе больше первого на 3, третье больше второго на 5, а четвёртое является суммой первого и второго. Найдите эти числа, если известно, что произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвёртым числом.

Обозначим четыре искомых числа как $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$. Для решения задачи выразим все числа через одно неизвестное. Пусть первое число $n_1 = x$.

Исходя из условий задачи, выразим остальные числа через $x$:

• Второе число больше первого на 3: $n_2 = n_1 + 3 = x + 3$.
• Третье число больше второго на 5: $n_3 = n_2 + 5 = (x + 3) + 5 = x + 8$.
• Четвёртое число является суммой первого и второго: $n_4 = n_1 + n_2 = x + (x + 3) = 2x + 3$.

Теперь используем последнее условие: "произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвёртым числом". Это можно записать в виде уравнения:

$n_3^2 - n_4 - (n_1 \cdot n_2) = 74.2$

Или, что то же самое:

$n_1 \cdot n_2 + 74.2 = n_3^2 - n_4$

Подставим в это уравнение выражения для чисел через $x$:

$x(x + 3) + 74.2 = (x + 8)^2 - (2x + 3)$

Теперь раскроем скобки и решим полученное уравнение.

Левая часть:

$x^2 + 3x + 74.2$

Правая часть:

$(x^2 + 16x + 64) - 2x - 3 = x^2 + 14x + 61$

Приравниваем обе части:

$x^2 + 3x + 74.2 = x^2 + 14x + 61$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$74.2 - 61 = 14x - 3x$

$13.2 = 11x$

$x = \frac{13.2}{11}$

$x = 1.2$

Мы нашли первое число: $n_1 = 1.2$.

Теперь найдем остальные числа:

• $n_2 = x + 3 = 1.2 + 3 = 4.2$
• $n_3 = x + 8 = 1.2 + 8 = 9.2$
• $n_4 = 2x + 3 = 2 \cdot 1.2 + 3 = 2.4 + 3 = 5.4$

Таким образом, мы получили четыре числа: 1,2; 4,2; 9,2; 5,4.

Проверим выполнение условия. Произведение первого и второго чисел: $1.2 \cdot 4.2 = 5.04$. Разность между квадратом третьего числа и четвёртым числом: $(9.2)^2 - 5.4 = 84.64 - 5.4 = 79.24$. Разница между этими величинами: $79.24 - 5.04 = 74.2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 1,2; 4,2; 9,2; 5,4.