Номер 32.23, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

32.23 Два прямоугольника имеют периметры $122 \text{ см}$. Длина первого прямоугольника больше длины второго на $5 \text{ см}$, а площадь второго прямоугольника на $120 \text{ см}^2$ больше площади первого. Найдите площадь каждого прямоугольника.

Обозначим длину и ширину первого прямоугольника как $a_1$ и $b_1$, а второго — как $a_2$ и $b_2$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, а площадь по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметры обоих прямоугольников равны 122 см:

$P_1 = 2(a_1 + b_1) = 122$

$P_2 = 2(a_2 + b_2) = 122$

Из этих уравнений следует, что сумма длины и ширины для каждого прямоугольника одинакова:

$a_1 + b_1 = \frac{122}{2} = 61$ см

$a_2 + b_2 = \frac{122}{2} = 61$ см

Отсюда мы можем выразить ширину каждого прямоугольника через его длину:

$b_1 = 61 - a_1$

$b_2 = 61 - a_2$

Также из условия задачи известно, что длина первого прямоугольника на 5 см больше длины второго:

$a_1 = a_2 + 5$

Теперь рассмотрим площади прямоугольников. Площадь первого прямоугольника $S_1 = a_1 \cdot b_1$, а второго $S_2 = a_2 \cdot b_2$. По условию, площадь второго прямоугольника на 120 см² больше площади первого:

$S_2 = S_1 + 120$

Подставим выражения для площадей через длины сторон:

$a_2 \cdot b_2 = a_1 \cdot b_1 + 120$

Теперь заменим ширины $b_1$ и $b_2$ выражениями, которые мы получили ранее:

$a_2(61 - a_2) = a_1(61 - a_1) + 120$

У нас получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $a_2$:

$\begin{cases} a_1 = a_2 + 5 \\ a_2(61 - a_2) = a_1(61 - a_1) + 120 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе, чтобы избавиться от переменной $a_1$:

$a_2(61 - a_2) = (a_2 + 5)(61 - (a_2 + 5)) + 120$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$61a_2 - a_2^2 = (a_2 + 5)(61 - a_2 - 5) + 120$

$61a_2 - a_2^2 = (a_2 + 5)(56 - a_2) + 120$

$61a_2 - a_2^2 = 56a_2 - a_2^2 + 280 - 5a_2 + 120$

$61a_2 - a_2^2 = 51a_2 - a_2^2 + 400$

Прибавим $a_2^2$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить этот член:

$61a_2 = 51a_2 + 400$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $a_2$:

$61a_2 - 51a_2 = 400$

$10a_2 = 400$

$a_2 = 40$ см

Мы нашли длину второго прямоугольника. Теперь можем найти все остальные размеры:

Длина первого прямоугольника: $a_1 = a_2 + 5 = 40 + 5 = 45$ см.

Ширина второго прямоугольника: $b_2 = 61 - a_2 = 61 - 40 = 21$ см.

Ширина первого прямоугольника: $b_1 = 61 - a_1 = 61 - 45 = 16$ см.

Осталось найти площади каждого прямоугольника:

Площадь первого прямоугольника: $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 45 \cdot 16 = 720$ см².

Площадь второго прямоугольника: $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 40 \cdot 21 = 840$ см².

Проверим, выполняется ли условие $S_2 = S_1 + 120$:

$840 \text{ см}^2 = 720 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2$

$840 \text{ см}^2 = 840 \text{ см}^2$

Условие выполняется.

Ответ: площадь первого прямоугольника равна 720 см², а площадь второго прямоугольника — 840 см².