Номер 32.18, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 32. Умножение многочлена на многочлен - номер 32.18, страница 143.

Условие.

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

32.18 а) $a(3a^2 - 4)(3a^2 + 4);$

б) $(a - 5)(a + 5)(a^2 + 25);$

в) $a^2(2a + 3)(2a - 3);$

г) $(a^2 + 16)(a - 4)(a + 4).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Исходное выражение: $a(3a^2 - 4)(3a^2 + 4)$.
Сначала преобразуем произведение скобок $(3a^2 - 4)(3a^2 + 4)$, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = 3a^2$ и $y = 4$.
$(3a^2 - 4)(3a^2 + 4) = (3a^2)^2 - 4^2 = 9a^4 - 16$.
Теперь умножим полученный результат на $a$:
$a(9a^4 - 16) = a \cdot 9a^4 - a \cdot 16 = 9a^5 - 16a$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $9a^5 - 16a$

б) Исходное выражение: $(a - 5)(a + 5)(a^2 + 25)$.
Сначала преобразуем произведение первых двух скобок $(a - 5)(a + 5)$, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = 5$.
$(a - 5)(a + 5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$.
Подставим результат в исходное выражение: $(a^2 - 25)(a^2 + 25)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = 25$.
$(a^2 - 25)(a^2 + 25) = (a^2)^2 - 25^2 = a^4 - 625$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^4 - 625$

в) Исходное выражение: $a^2(2a + 3)(2a - 3)$.
Преобразуем произведение скобок $(2a + 3)(2a - 3)$, используя формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = 2a$ и $y = 3$.
$(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$.
Теперь умножим полученный результат на $a^2$:
$a^2(4a^2 - 9) = a^2 \cdot 4a^2 - a^2 \cdot 9 = 4a^4 - 9a^2$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $4a^4 - 9a^2$

г) Исходное выражение: $(a^2 + 16)(a - 4)(a + 4)$.
Сначала сгруппируем и преобразуем произведение скобок $(a - 4)(a + 4)$, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = 4$.
$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.
Подставим результат в исходное выражение: $(a^2 + 16)(a^2 - 16)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = 16$.
$(a^2 + 16)(a^2 - 16) = (a^2)^2 - 16^2 = a^4 - 256$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^4 - 256$