Номер 32.16, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

32.16 Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь прямоугольника уменьшится на $32 \text{ см}^2$. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $l$ — начальная длина прямоугольника в сантиметрах, а $w$ — его начальная ширина в сантиметрах.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. По условию задачи, периметр равен 60 см. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 60$
Разделим обе части уравнения на 2:
$l + w = 30$

Начальная площадь прямоугольника равна $S = l \cdot w$.

Согласно условию, если длину увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то новые размеры будут $l_1 = l + 10$ и $w_1 = w - 6$. Новая площадь $S_1$ будет равна:
$S_1 = (l + 10)(w - 6)$

При этом новая площадь будет на 32 см² меньше начальной, то есть $S_1 = S - 32$. Подставим выражения для площадей и получим второе уравнение:
$(l + 10)(w - 6) = lw - 32$

Теперь решим полученную систему уравнений. Для начала, преобразуем второе уравнение, раскрыв скобки в левой части:
$lw - 6l + 10w - 60 = lw - 32$
Сократим $lw$ в обеих частях уравнения:
$-6l + 10w - 60 = -32$
Перенесем -60 в правую часть с противоположным знаком:
$-6l + 10w = 60 - 32$
$-6l + 10w = 28$
Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$-3l + 5w = 14$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} l + w = 30 \\ -3l + 5w = 14 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $l$:
$l = 30 - w$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$-3(30 - w) + 5w = 14$
$-90 + 3w + 5w = 14$
$8w = 14 + 90$
$8w = 104$
$w = \frac{104}{8}$
$w = 13$

Таким образом, начальная ширина прямоугольника равна 13 см. Теперь найдем начальную длину:
$l = 30 - w = 30 - 13 = 17$

Начальная длина прямоугольника равна 17 см.

Задача состоит в том, чтобы найти начальную площадь прямоугольника. Вычислим ее:
$S = l \cdot w = 17 \cdot 13 = 221$ см².

Ответ: 221 см².