Номер 32.21, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

32.21 Преобразуйте произведение выражений в многочлен стандартного вида:

a) $(m - 1)(m^3 + m^2 + m + 1);$

б) $(2 - s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4);$

в) $(x + y)(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3);$

г) $(a + 3)(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4).$

а) Чтобы преобразовать произведение $(m - 1)(m^3 + m^2 + m + 1)$ в многочлен стандартного вида, можно заметить, что это выражение соответствует формуле разности степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$. В данном случае $a = m$, $b = 1$ и $n = 4$.

Таким образом, $(m - 1)(m^3 + m^2 \cdot 1 + m \cdot 1^2 + 1^3) = m^4 - 1^4 = m^4 - 1$.

В качестве альтернативы можно раскрыть скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(m - 1)(m^3 + m^2 + m + 1) = m(m^3 + m^2 + m + 1) - 1(m^3 + m^2 + m + 1) = m^4 + m^3 + m^2 + m - m^3 - m^2 - m - 1$

Далее приводим подобные слагаемые:

$m^4 + (m^3 - m^3) + (m^2 - m^2) + (m - m) - 1 = m^4 - 1$

Ответ: $m^4 - 1$

б) Выражение $(2 - s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4)$ также является разностью степеней. Заметим, что коэффициенты во втором множителе являются степенями двойки: $16=2^4$, $8=2^3$, $4=2^2$, $2=2^1$.

Это соответствует формуле разности пятых степеней $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ при $a = 2$ и $b = s$.

Следовательно, $(2 - s)(2^4 + 2^3s + 2^2s^2 + 2s^3 + s^4) = 2^5 - s^5 = 32 - s^5$.

Проверим, раскрыв скобки:

$(2 - s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4) = 2(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4) - s(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4)$

$= (32 + 16s + 8s^2 + 4s^3 + 2s^4) - (16s + 8s^2 + 4s^3 + 2s^4 + s^5)$

$= 32 + 16s + 8s^2 + 4s^3 + 2s^4 - 16s - 8s^2 - 4s^3 - 2s^4 - s^5$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$32 - s^5$

Ответ: $32 - s^5$

в) Рассмотрим произведение $(x + y)(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3)$. Раскроем скобки:

$x(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3) + y(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3)$

$= (x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3) + (x^3y - x^2y^2 + xy^3 - y^4)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^4 + (-x^3y + x^3y) + (x^2y^2 - x^2y^2) + (-xy^3 + xy^3) - y^4 = x^4 - y^4$

Другой способ решения — заметить, что второй множитель можно разложить на множители: $x^3 - x^2y + xy^2 - y^3 = x^2(x-y) + y^2(x-y) = (x-y)(x^2+y^2)$.

Тогда исходное выражение равно $(x + y)(x - y)(x^2 + y^2)$.

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ дважды, получаем:

$(x + y)(x - y)(x^2 + y^2) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.

Ответ: $x^4 - y^4$

г) Выражение $(a + 3)(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4)$ является суммой степеней. Запишем второй множитель в порядке убывания степеней $a$: $(a^4 - 3a^3 + 9a^2 - 27a + 81)$.

Заметим, что коэффициенты являются степенями числа 3: $3 = 3^1$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$.

Выражение соответствует формуле суммы пятых степеней $x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$ при $x = a$ и $y = 3$.

$(a + 3)(a^4 - a^3\cdot3 + a^2\cdot3^2 - a\cdot3^3 + 3^4) = a^5 + 3^5 = a^5 + 243$.

Проверим прямым умножением:

$(a + 3)(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4) = a(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4) + 3(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4)$

$= (81a - 27a^2 + 9a^3 - 3a^4 + a^5) + (243 - 81a + 27a^2 - 9a^3 + 3a^4)$

Приводим подобные члены:

$a^5 + (-3a^4 + 3a^4) + (9a^3 - 9a^3) + (-27a^2 + 27a^2) + (81a - 81a) + 243 = a^5 + 243$

Ответ: $a^5 + 243$