Страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

44.16 а) На рис. 45;

б) на рис. 46;

в) на рис. 47;

г) на рис. 48.

Puc. 45

Puc. 46

Puc. 47

Puc. 48

а) На рисунке 45 сплошной линией изображена часть графика функции на отрезке $x \in [-3, 0]$. График является частью параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем уравнение этой параболы. Из графика видно, что она проходит через точки с целочисленными координатами: $(0, 0)$, $(-2, -4)$, $(-3, -9)$. Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. Поскольку график проходит через точку $(0, 0)$, то $c=0$. Уравнение принимает вид $y = ax^2 + bx$. Подставим координаты двух других точек: Для $(-2, -4)$: $-4 = a(-2)^2 + b(-2) \Rightarrow -4 = 4a - 2b \Rightarrow -2 = 2a - b$. Для $(-3, -9)$: $-9 = a(-3)^2 + b(-3) \Rightarrow -9 = 9a - 3b \Rightarrow -3 = 3a - b$. Получаем систему уравнений: $ \begin{cases} 2a - b = -2 \\ 3a - b = -3 \end{cases} $ Вычтем из второго уравнения первое: $(3a - b) - (2a - b) = -3 - (-2) \Rightarrow a = -1$. Подставим $a=-1$ в первое уравнение: $2(-1) - b = -2 \Rightarrow -2 - b = -2 \Rightarrow b = 0$. Таким образом, уравнение функции: $y = -x^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$. На отрезке $[-3, 0]$ функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает при $x = -3$, а наибольшее — при $x = 0$. $y_{наим} = y(-3) = -(-3)^2 = -9$. $y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$. Область значений функции на данном отрезке — это все значения от -9 до 0 включительно.
Ответ: $E(y) = [-9; 0]$.

б) На рисунке 46 сплошной линией изображен отрезок прямой. Этот отрезок определен для $x \in [-3, -2]$. Найдем координаты концов этого отрезка по графику. Левый конец имеет координаты $(-3, -9)$. Правый конец имеет координаты $(-2, -4)$. Функция на этом отрезке является линейной и возрастающей, так как с увеличением $x$ увеличивается и $y$. Наименьшее значение функции на этом отрезке равно ординате левого конца, а наибольшее — ординате правого конца. $y_{наим} = -9$. $y_{наиб} = -4$. Следовательно, область значений функции на этом отрезке — это все значения от -9 до -4 включительно.
Ответ: $E(y) = [-9; -4]$.

в) На рисунке 47 сплошной линией изображена часть графика функции на отрезке $x \in [-2, 1]$. График является частью параболы, ветви которой направлены вниз. Из графика видно, что концы сплошной линии находятся в точках $(-2, -4)$ и $(1, -4)$. Поскольку значения функции в точках $x=-2$ и $x=1$ равны, ось симметрии параболы проходит посередине между этими точками: $x_v = \frac{-2 + 1}{2} = -0.5$. На отрезке $[-2, 1]$ находится вершина параболы, в которой функция достигает своего максимального значения. Из графика видно, что максимальное значение равно -1. $y_{наиб} = -1$ (при $x=-0.5$). Минимальное значение на этом отрезке достигается на его концах. $y_{наим} = -4$. Таким образом, область значений функции на отрезке $[-2, 1]$ — это все значения от -4 до -1 включительно.
Ответ: $E(y) = [-4; -1]$.

г) На рисунке 48 сплошной линией изображена часть графика функции на отрезке $x \in [0, 2]$. График является частью параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем уравнение этой параболы. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ имеет вид $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Подставив координаты вершины $(-1, 0)$, получим: $y = a(x - (-1))^2 + 0 \Rightarrow y = a(x+1)^2$. График проходит через точку $(2, -9)$, которая является концом сплошной линии. Подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти коэффициент $a$: $-9 = a(2+1)^2 \Rightarrow -9 = a \cdot 3^2 \Rightarrow -9 = 9a \Rightarrow a = -1$. Уравнение функции: $y = -(x+1)^2$. Нам нужно найти область значений этой функции на отрезке $[0, 2]$. Поскольку вершина параболы находится в точке $x=-1$, а рассматриваемый отрезок $[0, 2]$ лежит правее вершины, функция на этом отрезке монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левом конце отрезка, при $x = 0$. $y_{наиб} = y(0) = -(0+1)^2 = -1$. Наименьшее значение функция принимает в правом конце отрезка, при $x = 2$. $y_{наим} = y(2) = -(2+1)^2 = -9$. Область значений функции на данном отрезке — это все значения от -9 до -1 включительно.
Ответ: $E(y) = [-9; -1]$.