Страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите графически уравнение:

45.2 а) $x^2 = 1$;

б) $x^2 = 4$;

в) $x^2 = 0$;

г) $x^2 = -1$.

Для графического решения уравнений вида $x^2 = c$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = c$. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

а) $x^2 = 1$

Строим графики функций $y = x^2$ (парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями вверх) и $y = 1$ (горизонтальная прямая, проходящая через $y=1$).

Графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых симметричны относительно оси Oy. Из графика видно, что это точки с абсциссами $x = -1$ и $x = 1$. Координаты точек пересечения: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) $x^2 = 4$

Строим графики функций $y = x^2$ и $y = 4$. График $y=4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через $y=4$.

Парабола $y=x^2$ и прямая $y=4$ пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек — это значения $x$, для которых $x^2 = 4$. Из графика находим, что это $x = -2$ и $x = 2$. Координаты точек пересечения: $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

в) $x^2 = 0$

Строим графики функций $y = x^2$ и $y = 0$. График $y=0$ — это ось абсцисс (ось Ox).

Парабола $y = x^2$ имеет с осью Ox одну общую точку — свою вершину $(0, 0)$. Это точка касания.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение, равное абсциссе этой точки.

Ответ: $x = 0$.

г) $x^2 = -1$

Строим графики функций $y = x^2$ и $y = -1$. График $y=-1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через $y=-1$.

Парабола $y = x^2$ расположена в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), ее самая нижняя точка — это вершина $(0, 0)$. Прямая $y = -1$ расположена в нижней полуплоскости.

Так как графики не имеют общих точек, они не пересекаются.

Ответ: нет решений.

45.3 а) $x^2 = 2x;$

б) $x^2 = -3x;$

в) $-x^2 = 2x;$

г) $-x^2 = 3x.$

a) Исходное уравнение: $x^2 = 2x$.

Для решения перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ax^2+bx=0$.

$x^2 - 2x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

1. $x = 0$

2. $x - 2 = 0 \implies x = 2$

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и 2.

Ответ: $0; 2$.

б) Исходное уравнение: $x^2 = -3x$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю, чтобы найти корни:

1. $x = 0$

2. $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Корнями уравнения являются 0 и -3.

Ответ: $0; -3$.

в) Исходное уравнение: $-x^2 = 2x$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = x^2 + 2x$

Это уравнение эквивалентно $x^2 + 2x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1. $x = 0$

2. $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Следовательно, корни уравнения: 0 и -2.

Ответ: $0; -2$.

г) Исходное уравнение: $-x^2 = 3x$.

Перенесем все члены уравнения в правую часть:

$0 = x^2 + 3x$

Запишем в стандартном виде: $x^2 + 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю для нахождения корней:

1. $x = 0$

2. $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Корнями данного уравнения являются 0 и -3.

Ответ: $0; -3$.

45.4 a) $x^2 = x + 6;$

б) $-x^2 = x - 2;$

В) $x^2 = x + 2;$

Г) $-x^2 = x - 6.$

а) $x^2 = x + 6$

Для решения данного квадратного уравнения перенесем все его члены в левую часть, чтобы привести к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.

$x^2 - x - 6 = 0$

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 3$.

б) $-x^2 = x - 2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Это упрощает вычисления. Получим стандартное квадратное уравнение.

$0 = x^2 + x - 2$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 1$, $c = -2$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 1$.

в) $x^2 = x + 2$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть.

$x^2 - x - 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 2$.

г) $-x^2 = x - 6$

Перенесем все члены уравнения в правую часть для получения стандартного квадратного уравнения с положительным старшим коэффициентом.

$0 = x^2 + x - 6$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $-3; 2$.

45.5 a) $x^2 = 2x + 3;$

б) $-x^2 = -3x + 2;$

B) $x^2 = -2x + 3;$

Г) $-x^2 = 2x - 3.$

а)

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-2) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 3$.

б)

Перенесем все члены уравнения в правую часть и запишем в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.

$-x^2 = -3x + 2$

$0 = x^2 - 3x + 2$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-3) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 2$.

в)

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $-3; 1$.

г)

Перенесем все члены уравнения в правую часть и запишем в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.

$-x^2 = 2x - 3$

$0 = x^2 + 2x - 3$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $-3; 1$.

45.6 a) На графике функции $y = -x + 4$ найдите точку, абсцисса которой равна ординате.

б) На графике функции $y = x^2$ найдите точку, абсцисса которой равна ординате.

а)

По условию задачи, абсцисса точки должна быть равна ее ординате. В координатах $(x, y)$ это означает, что $x = y$.

Точка также должна принадлежать графику функции $y = -x + 4$. Это значит, что ее координаты должны удовлетворять этому уравнению.

Чтобы найти искомую точку, подставим условие $y = x$ в уравнение функции:

$x = -x + 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x + x = 4$

$2x = 4$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Поскольку $y = x$, то ордината точки также равна 2.

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(2, 2)$.

Ответ: $(2, 2)$

б)

Аналогично пункту а), условие равенства абсциссы и ординаты означает, что для искомой точки $(x, y)$ выполняется равенство $x = y$.

Точка должна принадлежать графику функции $y = x^2$.

Подставим $y = x$ в уравнение функции:

$x = x^2$

Решим это квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

или

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Поскольку $y = x$, найдем соответствующие ординаты для каждого значения абсциссы:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.

Следовательно, на графике функции $y = x^2$ есть две точки, у которых абсцисса равна ординате.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 1)$

45.7 a) На графике функции $y = 2x - 4$ найдите точку, ордината которой на 8 меньше абсциссы.

б) На графике функции $y = x^2$ найдите точку, абсцисса и ордината которой — противоположные числа.

a) Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$. Поскольку точка лежит на графике функции $y = 2x - 4$, ее координаты удовлетворяют этому уравнению. По условию задачи, ордината ($y$) точки на 8 меньше ее абсциссы ($x$). Это можно записать в виде уравнения: $y = x - 8$. Чтобы найти координаты искомой точки, решим систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = x - 8 \end{cases} $ Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны: $2x - 4 = x - 8$ Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую: $2x - x = -8 + 4$ $x = -4$ Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся вторым уравнением: $y = x - 8 = -4 - 8 = -12$ Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-4, -12)$.
Ответ: $(-4, -12)$.

б) Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$. Поскольку точка лежит на графике функции $y = x^2$, ее координаты удовлетворяют этому уравнению. По условию задачи, абсцисса ($x$) и ордината ($y$) точки являются противоположными числами. Это означает, что $y = -x$. Чтобы найти координаты искомой точки, решим систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = -x \end{cases} $ Приравняем правые части уравнений: $x^2 = -x$ Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное уравнение: $x^2 + x = 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 1) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $x_2 + 1 = 0 \implies x_2 = -1$. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$: 1. Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -x_1 = -0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$. 2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -x_2 = -(-1) = 1$. Получаем точку $(-1, 1)$. Обе точки удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: $(0, 0)$ и $(-1, 1)$.

45.8 a) На графике функции $y = -x^2$ найдите точку, ордината которой на 6 меньше абсциссы.

б) На графике функции $y = -x^2$ найдите точку, абсцисса которой на 2 больше ординаты.

а) Пусть искомая точка на графике имеет координаты $(x; y)$. Абсцисса точки — это $x$, а ордината — это $y$.

По условию, точка принадлежит графику функции $y = -x^2$. Также дано, что ордината точки на 6 меньше ее абсциссы, то есть $y = x - 6$.

Чтобы найти координаты точки, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = x - 6 \end{cases}$

Приравняем правые части этих уравнений:

$-x^2 = x - 6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Легко подобрать корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$ для каждого найденного $x$, используя второе уравнение $y = x - 6$.

1. При $x_1 = -3$:
$y_1 = -3 - 6 = -9$.
Получили точку с координатами $(-3; -9)$.

2. При $x_2 = 2$:
$y_2 = 2 - 6 = -4$.
Получили точку с координатами $(2; -4)$.

Обе точки удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(-3; -9)$ и $(2; -4)$.

б) Аналогично пункту а), искомая точка с координатами $(x; y)$ принадлежит графику функции $y = -x^2$.

По условию, абсцисса точки ($x$) на 2 больше ее ординаты ($y$). Это можно записать как $x = y + 2$, или, что удобнее для подстановки, $y = x - 2$.

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = x - 2 \end{cases}$

Приравняем правые части:

$-x^2 = x - 2$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения $y = x - 2$.

1. При $x_1 = -2$:
$y_1 = -2 - 2 = -4$.
Получили точку с координатами $(-2; -4)$.

2. При $x_2 = 1$:
$y_2 = 1 - 2 = -1$.
Получили точку с координатами $(1; -1)$.

Обе точки удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(-2; -4)$ и $(1; -1)$.

Решите графически уравнение:

45.9 а) $x^2 + 2x - 3 = 0;$

б) $x^2 - 4x = -3;$

в) $x^2 + 4x + 3 = 0;$

г) $x^2 - x = 6.$

а) Чтобы решить уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ графически, построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика этой функции с осью Ox.
График $y = x^2 + 2x - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх.
1. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$; $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(-1, -4)$.
2. Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$: $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
3. Построим параболу по ключевым точкам: вершина $(-1, -4)$, точка пересечения с Oy $(0, -3)$ и симметричная ей точка $(-2, -3)$.
Из графика видно, что парабола пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны $-3$ и $1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.

б) Сначала преобразуем уравнение к виду $x^2 - 4x + 3 = 0$. Решим его графически, построив график функции $y = x^2 - 4x + 3$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.
Это парабола с ветвями вверх.
1. Координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$; $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина — в точке $(2, -1)$.
2. Точка пересечения с осью Oy ($x=0$) — $(0, 3)$.
3. Построив параболу по вершине $(2, -1)$, точке $(0, 3)$ и симметричной ей точке $(4, 3)$, видим, что она пересекает ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

в) Для графического решения уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ построим график функции $y = x^2 + 4x + 3$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox.
Это парабола с ветвями вверх.
1. Найдем ее вершину: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$; $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина — в точке $(-2, -1)$.
2. Точка пересечения с осью Oy ($x=0$) — $(0, 3)$.
3. Построив параболу по вершине $(-2, -1)$, точке $(0, 3)$ и симметричной ей точке $(-4, 3)$, мы определим, что она пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = -1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1$.

г) Представим уравнение $x^2 - x = 6$ в виде $x^2 = x + 6$. Решениями этого уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ (парабола) и $y = x + 6$ (прямая).
1. Построим график $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
2. Построим график $y = x + 6$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки. Например, при $x=0$, $y=6$ (точка $(0, 6)$) и при $x=-2$, $y=4$ (точка $(-2, 4)$).
3. Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Это точки с координатами $(-2, 4)$ и $(3, 9)$.
Абсциссы этих точек, $x = -2$ и $x = 3$, являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.

45.10 а) $x^2 + x + 2 = 0;$

Б) $x^2 - x + 4 = 0;$

В) $x^2 - x + 6 = 0;$

Г) $x^2 + x + 8 = 0.$

Решим квадратное уравнение $x^2 + x + 2 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами: $a=1$, $b=1$, $c=2$.

Для определения количества корней найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант меньше нуля ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

Решим квадратное уравнение $x^2 - x + 4 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=4$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку дискриминант меньше нуля ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

Решим квадратное уравнение $x^2 - x + 6 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Поскольку дискриминант меньше нуля ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

Решим квадратное уравнение $x^2 + x + 8 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=8$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$.

Поскольку дискриминант меньше нуля ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

45.11 а) $x^2 - 2x + 1 = 0;$

б) $x^2 + 4x + 4 = 0;$

В) $x^2 + 2x + 1 = 0;$

Г) $x^2 - 4x + 4 = 0.$

а) Чтобы решить квадратное уравнение $x^2 - 2x + 1 = 0$, можно заметить, что его левая часть представляет собой полный квадрат. Мы можем использовать формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном уравнении мы имеем $a^2 = x^2$, $2ab = 2x$ и $b^2 = 1$. Отсюда следует, что $a = x$ и $b = 1$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x - 1)^2 = 0$
Чтобы уравнение было верным, основание степени должно быть равно нулю:
$x - 1 = 0$
Перенося -1 в правую часть, находим корень:
$x = 1$
Ответ: 1

б) Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x + 4 = 0$. Левая часть этого уравнения также является полным квадратом. Применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В этом уравнении $a^2 = x^2$, $2ab = 4x$ и $b^2 = 4$. Отсюда следует, что $a = x$ и $b = 2$.
Сворачиваем левую часть уравнения по формуле:
$(x + 2)^2 = 0$
Это равенство выполняется только тогда, когда выражение в скобках равно нулю:
$x + 2 = 0$
Переносим 2 в правую часть уравнения:
$x = -2$
Ответ: -2

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + 2x + 1 = 0$. Это уравнение похоже на уравнение из пункта а), но со знаком плюс перед вторым членом. Левая часть является полным квадратом и соответствует формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$ и $b = 1$.
Запишем уравнение в свернутом виде:
$(x + 1)^2 = 0$
Приравниваем основание степени к нулю:
$x + 1 = 0$
Находим корень:
$x = -1$
Ответ: -1

г) Решим последнее уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$. Как и в предыдущих случаях, левая часть представляет собой полный квадрат. Это квадрат разности, так как второй член отрицателен. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, $2ab = 4x$ и $b^2 = 4$. Следовательно, $a = x$ и $b = 2$.
Переписываем уравнение:
$(x - 2)^2 = 0$
Основание степени должно быть равно нулю:
$x - 2 = 0$
Находим значение x:
$x = 2$
Ответ: 2

Определите, сколько корней имеет уравнение:

45.12

а) $x^2 = \frac{3}{2}x$;

б) $x^2 = -x - 3$;

в) $x^2 = -\frac{x+1}{4}$;

г) $x^2 = -3x + 1$.

Для определения количества корней уравнения его необходимо привести к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и вычислить дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Количество действительных корней зависит от знака дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один корень.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $x^2 = \frac{3}{2}x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$x^2 - \frac{3}{2}x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-\frac{3}{2}$, $c=0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-\frac{3}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = \frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Их можно найти, вынеся $x$ за скобку: $x(x - \frac{3}{2}) = 0$, откуда $x_1=0$ и $x_2=\frac{3}{2}$.

Ответ: 2 корня.

б) $x^2 = -x - 3$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + x + 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=3$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0 корней.

в) $x^2 = -\frac{x+1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4x^2 = -(x+1)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 = -x - 1$

$4x^2 + x + 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=1$, $c=1$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0 корней.

г) $x^2 = -3x + 1$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 3x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=3$, $c=-1$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: 2 корня.