Номер 45.8, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

45.8 a) На графике функции $y = -x^2$ найдите точку, ордината которой на 6 меньше абсциссы.

б) На графике функции $y = -x^2$ найдите точку, абсцисса которой на 2 больше ординаты.

а) Пусть искомая точка на графике имеет координаты $(x; y)$. Абсцисса точки — это $x$, а ордината — это $y$.

По условию, точка принадлежит графику функции $y = -x^2$. Также дано, что ордината точки на 6 меньше ее абсциссы, то есть $y = x - 6$.

Чтобы найти координаты точки, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = x - 6 \end{cases}$

Приравняем правые части этих уравнений:

$-x^2 = x - 6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Легко подобрать корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$ для каждого найденного $x$, используя второе уравнение $y = x - 6$.

1. При $x_1 = -3$:
$y_1 = -3 - 6 = -9$.
Получили точку с координатами $(-3; -9)$.

2. При $x_2 = 2$:
$y_2 = 2 - 6 = -4$.
Получили точку с координатами $(2; -4)$.

Обе точки удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(-3; -9)$ и $(2; -4)$.

б) Аналогично пункту а), искомая точка с координатами $(x; y)$ принадлежит графику функции $y = -x^2$.

По условию, абсцисса точки ($x$) на 2 больше ее ординаты ($y$). Это можно записать как $x = y + 2$, или, что удобнее для подстановки, $y = x - 2$.

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = x - 2 \end{cases}$

Приравняем правые части:

$-x^2 = x - 2$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения $y = x - 2$.

1. При $x_1 = -2$:
$y_1 = -2 - 2 = -4$.
Получили точку с координатами $(-2; -4)$.

2. При $x_2 = 1$:
$y_2 = 1 - 2 = -1$.
Получили точку с координатами $(1; -1)$.

Обе точки удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(-2; -4)$ и $(1; -1)$.