Номер 45.9, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите графически уравнение:

45.9 а) $x^2 + 2x - 3 = 0;$

б) $x^2 - 4x = -3;$

в) $x^2 + 4x + 3 = 0;$

г) $x^2 - x = 6.$

а) Чтобы решить уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ графически, построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика этой функции с осью Ox.
График $y = x^2 + 2x - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх.
1. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$; $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(-1, -4)$.
2. Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$: $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
3. Построим параболу по ключевым точкам: вершина $(-1, -4)$, точка пересечения с Oy $(0, -3)$ и симметричная ей точка $(-2, -3)$.
Из графика видно, что парабола пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны $-3$ и $1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.

б) Сначала преобразуем уравнение к виду $x^2 - 4x + 3 = 0$. Решим его графически, построив график функции $y = x^2 - 4x + 3$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.
Это парабола с ветвями вверх.
1. Координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$; $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина — в точке $(2, -1)$.
2. Точка пересечения с осью Oy ($x=0$) — $(0, 3)$.
3. Построив параболу по вершине $(2, -1)$, точке $(0, 3)$ и симметричной ей точке $(4, 3)$, видим, что она пересекает ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

в) Для графического решения уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ построим график функции $y = x^2 + 4x + 3$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox.
Это парабола с ветвями вверх.
1. Найдем ее вершину: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$; $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина — в точке $(-2, -1)$.
2. Точка пересечения с осью Oy ($x=0$) — $(0, 3)$.
3. Построив параболу по вершине $(-2, -1)$, точке $(0, 3)$ и симметричной ей точке $(-4, 3)$, мы определим, что она пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = -1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1$.

г) Представим уравнение $x^2 - x = 6$ в виде $x^2 = x + 6$. Решениями этого уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ (парабола) и $y = x + 6$ (прямая).
1. Построим график $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
2. Построим график $y = x + 6$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки. Например, при $x=0$, $y=6$ (точка $(0, 6)$) и при $x=-2$, $y=4$ (точка $(-2, 4)$).
3. Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Это точки с координатами $(-2, 4)$ и $(3, 9)$.
Абсциссы этих точек, $x = -2$ и $x = 3$, являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.