Номер 45.16, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

45.16 При каких значениях p данное уравнение имеет один корень:

а) $ \frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = p; $

б) $ \frac{x^4 - 4x^3}{x^2 - 4x} = p; $

в) $ \frac{9x^2 - 3x^3}{3x - 9} = p; $

г) $ \frac{x^4 - 2x^3}{x^2 - 2x} = p? $

а) Исходное уравнение: $\frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = p$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $2x + 6 \neq 0$, что означает $2x \neq -6$, и, следовательно, $x \neq -3$. Теперь упростим левую часть уравнения, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе: $\frac{2x^2(x + 3)}{2(x + 3)} = p$. При условии, что $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $2(x+3)$. Получаем уравнение: $x^2 = p$. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = p \\ x \neq -3 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $p < 0$, уравнение $x^2 = p$ не имеет действительных корней. 2. Если $p = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq -3$), поэтому при $p=0$ исходное уравнение имеет один корень. 3. Если $p > 0$, уравнение $x^2 = p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{p}$ и $x_2 = -\sqrt{p}$. Исходное уравнение будет иметь один корень только в том случае, если один из этих корней будет равен $-3$ (и, следовательно, будет исключен из решения), а второй корень не будет равен $-3$. Проверим, когда один из корней равен $-3$: $-\sqrt{p} = -3 \implies \sqrt{p} = 3 \implies p = 9$. При $p=9$ уравнение $x^2=9$ имеет корни $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=-3$ не удовлетворяет ОДЗ, а корень $x=3$ удовлетворяет. Следовательно, при $p=9$ исходное уравнение имеет ровно один корень $x=3$. Случай $\sqrt{p} = -3$ невозможен, так как корень не может быть отрицательным. Таким образом, уравнение имеет один корень при $p=0$ и $p=9$.
Ответ: $p=0; 9$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^4 - 4x^3}{x^2 - 4x} = p$. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x^2 - 4x \neq 0 \implies x(x - 4) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Упростим левую часть уравнения: $\frac{x^3(x - 4)}{x(x - 4)} = p$. При $x \neq 0$ и $x \neq 4$ сокращаем дробь и получаем $x^2 = p$. Исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = p \\ x \neq 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $p < 0$, уравнение $x^2 = p$ не имеет корней. 2. Если $p = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x=0$. Однако это значение исключено из ОДЗ. Значит, при $p=0$ исходное уравнение корней не имеет. 3. Если $p > 0$, уравнение $x^2 = p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{p}$ и $x_2 = -\sqrt{p}$. Чтобы исходное уравнение имело один корень, один из этих корней должен быть исключен ОДЗ ($x=0$ или $x=4$), а другой должен быть допустимым. Случай $x=0$ приводит к $p=0$, который мы уже рассмотрели (нет корней). Рассмотрим случай, когда один из корней равен $4$: $\sqrt{p} = 4 \implies p = 16$. При $p=16$ уравнение $x^2=16$ имеет корни $x=4$ и $x=-4$. Корень $x=4$ исключен из ОДЗ, а корень $x=-4$ является допустимым ($-4 \neq 0$ и $-4 \neq 4$). Таким образом, при $p=16$ исходное уравнение имеет один корень $x=-4$. Случай $-\sqrt{p} = 4$ невозможен.
Ответ: $p=16$.

в) Исходное уравнение: $\frac{9x^2 - 3x^3}{3x - 9} = p$. ОДЗ: $3x - 9 \neq 0 \implies 3x \neq 9 \implies x \neq 3$. Упростим левую часть: $\frac{3x^2(3 - x)}{3(x - 3)} = \frac{-3x^2(x - 3)}{3(x - 3)} = p$. При $x \neq 3$ сокращаем дробь и получаем $-x^2 = p$, что равносильно $x^2 = -p$. Исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = -p \\ x \neq 3 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $-p < 0$ (то есть $p > 0$), уравнение $x^2 = -p$ не имеет действительных корней. 2. Если $-p = 0$ (то есть $p = 0$), уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x=0$. Он удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq 3$). Следовательно, при $p=0$ исходное уравнение имеет один корень. 3. Если $-p > 0$ (то есть $p < 0$), уравнение $x^2 = -p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{-p}$ и $x_2 = -\sqrt{-p}$. Исходное уравнение будет иметь один корень, если один из этих корней равен $3$. $\sqrt{-p} = 3 \implies -p = 9 \implies p = -9$. При $p=-9$ уравнение $x^2=9$ имеет корни $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=3$ исключен из ОДЗ, а корень $x=-3$ является допустимым. Таким образом, при $p=-9$ исходное уравнение имеет один корень $x=-3$. Случай $-\sqrt{-p} = 3$ невозможен.
Ответ: $p=-9; 0$.

г) Исходное уравнение: $\frac{x^4 - 2x^3}{x^2 - 2x} = p$. ОДЗ: $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Упростим левую часть уравнения: $\frac{x^3(x - 2)}{x(x - 2)} = p$. При $x \neq 0$ и $x \neq 2$ сокращаем дробь и получаем $x^2 = p$. Исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = p \\ x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $p < 0$, уравнение $x^2 = p$ не имеет корней. 2. Если $p = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет корень $x=0$, который исключен из ОДЗ. Значит, при $p=0$ корней нет. 3. Если $p > 0$, уравнение $x^2 = p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{p}$ и $x_2 = -\sqrt{p}$. Чтобы исходное уравнение имело один корень, один из этих корней должен быть исключен ОДЗ ($x=0$ или $x=2$), а другой должен быть допустимым. Случай $x=0$ приводит к $p=0$, который мы уже рассмотрели. Рассмотрим случай, когда один из корней равен $2$: $\sqrt{p} = 2 \implies p = 4$. При $p=4$ уравнение $x^2=4$ имеет корни $x=2$ и $x=-2$. Корень $x=2$ исключен из ОДЗ, а корень $x=-2$ является допустимым ($-2 \neq 0$ и $-2 \neq 2$). Таким образом, при $p=4$ исходное уравнение имеет один корень $x=-2$. Случай $-\sqrt{p} = 2$ невозможен.
Ответ: $p=4$.