Номер 45.15, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

45.15 a) $\frac{x^3 - x^2}{x - 1} = -2x + 3;$

Б) $-\frac{x^3 + 2x^2}{x + 2} = x - 2;$

В) $\frac{x^3 - 3x^2}{x - 3} = x + 6;$

Г) $-\frac{4x^2 + x^3}{x + 4} = 2x - 8.$

а) $\frac{x^3 - x^2}{x - 1} = -2x + 3$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Упростим левую часть уравнения, вынеся общий множитель $x^2$ в числителе за скобки:

$\frac{x^2(x - 1)}{x - 1} = -2x + 3$

Поскольку $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$x^2 = -2x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$.

б) $-\frac{x^3 + 2x^2}{x + 2} = x - 2$

ОДЗ: знаменатель $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Упростим левую часть уравнения, вынеся $x^2$ за скобки в числителе:

$-\frac{x^2(x + 2)}{x + 2} = x - 2$

При $x \neq -2$ сокращаем дробь на $(x + 2)$:

$-x^2 = x - 2$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2 + x - 2$

Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$).

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

в) $\frac{x^3 - 3x^2}{x - 3} = x + 6$

ОДЗ: знаменатель $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{x^2(x - 3)}{x - 3} = x + 6$

При $x \neq 3$ сокращаем дробь на $(x - 3)$:

$x^2 = x + 6$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.

г) $-\frac{4x^2 + x^3}{x + 4} = 2x - 8$

ОДЗ: знаменатель $x + 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Упростим левую часть уравнения. Для удобства поменяем слагаемые в числителе местами и вынесем общий множитель $x^2$:

$-\frac{x^3 + 4x^2}{x + 4} = 2x - 8$

$-\frac{x^2(x + 4)}{x + 4} = 2x - 8$

При $x \neq -4$ сокращаем дробь на $(x + 4)$:

$-x^2 = 2x - 8$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2 + 2x - 8$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -4$).

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.