Номер 45.14, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите графически уравнение:

45.14 a) $\frac{2x^4}{x^3} = -x^2$;

б) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x^2$;

в) $x^2 = \frac{3x^8}{x^7}$;

г) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = -x^2$.

а)

Чтобы решить уравнение $\frac{2x^4}{x^3} = -x^2$ графически, построим графики двух функций в одной системе координат: $y = \frac{2x^4}{x^3}$ и $y = -x^2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Рассмотрим функцию $y = \frac{2x^4}{x^3}$. Область определения этой функции — все числа, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. На области определения функцию можно упростить: $y = 2x$. Графиком этой функции является прямая $y = 2x$ с выколотой точкой при $x=0$. Координаты выколотой точки: $(0, 2 \cdot 0) = (0, 0)$.

2. Рассмотрим функцию $y = -x^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

3. Построим графики прямой $y = 2x$ (с выколотой точкой в начале координат) и параболы $y = -x^2$.

Из графика видно, что графики пересекаются в одной точке. Чтобы найти ее координаты, приравняем выражения для $y$:
$2x = -x^2$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Получаем два возможных значения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Поскольку $x=0$ не входит в область определения исходной функции, это посторонний корень. Точка $(0, 0)$ является выколотой на графике прямой. Единственная точка пересечения графиков имеет абсциссу $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

б)

Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x^2$ графически. Для этого построим графики функций $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ и $y = x^2$.

1. Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Область определения: $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Упростим функцию, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов:
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$.
Графиком является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой при $x=2$. Координаты выколотой точки: $(2, 2 + 2) = (2, 4)$.

2. Функция $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

3. Построим графики прямой $y = x + 2$ (с выколотой точкой $(2, 4)$) и параболы $y = x^2$.

Найдем абсциссы точек пересечения:
$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Значение $x=2$ не входит в область определения исходной функции. Точка $(2, 4)$ является выколотой на графике прямой, поэтому пересечения в этой точке нет. Единственным решением является абсцисса второй точки пересечения $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

в)

Решим уравнение $x^2 = \frac{3x^8}{x^7}$ графически. Построим графики функций $y = x^2$ и $y = \frac{3x^8}{x^7}$.

1. Рассмотрим функцию $y = x^2$. Ее график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.

2. Рассмотрим функцию $y = \frac{3x^8}{x^7}$. Область определения: $x^7 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Упростим выражение:
$y = 3x^{8-7} = 3x$.
Графиком является прямая $y = 3x$ с выколотой точкой при $x=0$. Координаты выколотой точки: $(0, 3 \cdot 0) = (0, 0)$.

3. Построим графики параболы $y = x^2$ и прямой $y = 3x$ (с выколотой точкой $(0,0)$).

Найдем абсциссы точек пересечения:
$x^2 = 3x$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Значение $x=0$ не входит в область определения функции $y = \frac{3x^8}{x^7}$. Точка $(0, 0)$ является выколотой на графике прямой. Следовательно, единственным решением является $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

г)

Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = -x^2$ графически. Построим графики функций $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$ и $y = -x^2$.

1. Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$. Область определения: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Упростим функцию:
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$.
Графиком является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой при $x=-2$. Координаты выколотой точки: $(-2, -2 - 2) = (-2, -4)$.

2. Функция $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

3. Построим графики прямой $y = x - 2$ (с выколотой точкой $(-2, -4)$) и параболы $y = -x^2$.

Найдем абсциссы точек пересечения:
$x - 2 = -x^2$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Значение $x=-2$ не входит в область определения исходной функции. Точка $(-2, -4)$ является выколотой на графике прямой, поэтому пересечения в этой точке нет. Единственным решением является абсцисса второй точки пересечения $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.