Номер 45.7, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

45.7 a) На графике функции $y = 2x - 4$ найдите точку, ордината которой на 8 меньше абсциссы.

б) На графике функции $y = x^2$ найдите точку, абсцисса и ордината которой — противоположные числа.

a) Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$. Поскольку точка лежит на графике функции $y = 2x - 4$, ее координаты удовлетворяют этому уравнению. По условию задачи, ордината ($y$) точки на 8 меньше ее абсциссы ($x$). Это можно записать в виде уравнения: $y = x - 8$. Чтобы найти координаты искомой точки, решим систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = x - 8 \end{cases} $ Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны: $2x - 4 = x - 8$ Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую: $2x - x = -8 + 4$ $x = -4$ Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся вторым уравнением: $y = x - 8 = -4 - 8 = -12$ Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-4, -12)$.
Ответ: $(-4, -12)$.

б) Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$. Поскольку точка лежит на графике функции $y = x^2$, ее координаты удовлетворяют этому уравнению. По условию задачи, абсцисса ($x$) и ордината ($y$) точки являются противоположными числами. Это означает, что $y = -x$. Чтобы найти координаты искомой точки, решим систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = -x \end{cases} $ Приравняем правые части уравнений: $x^2 = -x$ Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное уравнение: $x^2 + x = 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 1) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $x_2 + 1 = 0 \implies x_2 = -1$. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$: 1. Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -x_1 = -0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$. 2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -x_2 = -(-1) = 1$. Получаем точку $(-1, 1)$. Обе точки удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: $(0, 0)$ и $(-1, 1)$.