Номер 4, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4 Разложите многочлен на множители:

а) $16x^4 - 0,09a^2;$

б) $4a^6b^2 - 20a^3bc^2 + 25c^4;$

в) $\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2.$

а) Для разложения многочлена $16x^4 - 0,09a^2$ на множители используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член многочлена в виде квадрата:
Первый член: $16x^4 = (4x^2)^2$.
Второй член: $0,09a^2 = (0,3a)^2$.
Теперь, приняв $A = 4x^2$ и $B = 0,3a$, применим формулу:
$(4x^2)^2 - (0,3a)^2 = (4x^2 - 0,3a)(4x^2 + 0,3a)$.
Ответ: $(4x^2 - 0,3a)(4x^2 + 0,3a)$.

б) Многочлен $4a^6b^2 - 20a^3bc^2 + 25c^4$ является трехчленом. Проверим, можно ли его представить в виде квадрата разности по формуле $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
Первый член: $4a^6b^2 = (2a^3b)^2$. Таким образом, $A = 2a^3b$.
Третий член: $25c^4 = (5c^2)^2$. Таким образом, $B = 5c^2$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $A$ и $B$ со знаком минус:
$-2AB = -2 \cdot (2a^3b) \cdot (5c^2) = -20a^3bc^2$.
Это совпадает со средним членом исходного многочлена. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности:
$4a^6b^2 - 20a^3bc^2 + 25c^4 = (2a^3b - 5c^2)^2$.
Ответ: $(2a^3b - 5c^2)^2$.

в) Многочлен $\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2$ является трехчленом. Проверим, можно ли его представить в виде квадрата суммы по формуле $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
Первый член: $\frac{1}{16}a^2 = (\frac{1}{4}a)^2$. Таким образом, $A = \frac{1}{4}a$.
Третий член: $\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$. Таким образом, $B = \frac{1}{3}b$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $A$ и $B$:
$2AB = 2 \cdot (\frac{1}{4}a) \cdot (\frac{1}{3}b) = \frac{2}{12}ab = \frac{1}{6}ab$.
Это совпадает со средним членом исходного многочлена. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата суммы:
$\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{4}a + \frac{1}{3}b)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}a + \frac{1}{3}b)^2$.