Номер 8, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8 Сократите дробь:

a) $\frac{a^3 + b^3}{b^2 - a^2}$;

б) $\frac{3a^3b^2 - 18a^2b^3 + 27ab^4}{6a^3b - 18a^2b^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^3 + b^3}{b^2 - a^2} $, разложим ее числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов: $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $.

$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $

Знаменатель является разностью квадратов. Используем формулу разности квадратов: $ y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) $.

$ b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) $

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходную дробь:

$ \frac{a^3 + b^3}{b^2 - a^2} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(b - a)(b + a)} $

Сократим общий множитель $ (a+b) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)}{(b - a)\cancel{(b + a)}} = \frac{a^2 - ab + b^2}{b - a} $

Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{a^2 - ab + b^2}{b - a} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{3a^3b^2 - 18a^2b^3 + 27ab^4}{6a^3b - 18a^2b^2} $, разложим ее числитель и знаменатель на множители.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем общий множитель $ 3ab^2 $ за скобки:

$ 3a^3b^2 - 18a^2b^3 + 27ab^4 = 3ab^2(a^2 - 6ab + 9b^2) $

Выражение в скобках $ a^2 - 6ab + 9b^2 $ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.

$ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a)^2 - 2(a)(3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2 $

Таким образом, числитель полностью разложен на множители: $ 3ab^2(a - 3b)^2 $.

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель $ 6a^2b $ за скобки:

$ 6a^3b - 18a^2b^2 = 6a^2b(a - 3b) $

Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{3ab^2(a - 3b)^2}{6a^2b(a - 3b)} $

Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $, переменные $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $, $ \frac{b^2}{b} = b $, и скобки $ \frac{(a-3b)^2}{a-3b} = a-3b $.

$ \frac{\cancel{3}\cancel{a}b^{\cancel{2}}(a - 3b)^{\cancel{2}}}{\cancel{6}_2 a^{\cancel{2}}\cancel{b}(\cancel{a - 3b})} = \frac{b(a - 3b)}{2a} $

Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{b(a - 3b)}{2a} $