Номер 44.30, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.30 а) $y = x^2$ и $y = x + 2$;

б) $y = -x^2$ и $y = -x - 6$;

в) $y = x^2$ и $y = -x + 6$;

г) $y = -x^2$ и $y = x - 2$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Найденные значения $x$ затем подставляются в любую из исходных функций для нахождения соответствующих значений $y$.

а) Даны функции $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$.

Для $x_1 = 2$, используя уравнение $y = x + 2$:

$y_1 = 2 + 2 = 4$

Первая точка пересечения: $(2, 4)$.

Для $x_2 = -1$, используя то же уравнение:

$y_2 = -1 + 2 = 1$

Вторая точка пересечения: $(-1, 1)$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-1, 1)$.

б) Даны функции $y = -x^2$ и $y = -x - 6$.

Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = -x - 6$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = x^2 - x - 6$

Решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 3$, используя уравнение $y = -x^2$:

$y_1 = -(3)^2 = -9$

Первая точка пересечения: $(3, -9)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = -(-2)^2 = -4$

Вторая точка пересечения: $(-2, -4)$.

Ответ: $(3, -9)$, $(-2, -4)$.

в) Даны функции $y = x^2$ и $y = -x + 6$.

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 = -x + 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -3$

Найдем соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 2$, используя уравнение $y = x^2$:

$y_1 = 2^2 = 4$

Первая точка пересечения: $(2, 4)$.

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = (-3)^2 = 9$

Вторая точка пересечения: $(-3, 9)$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-3, 9)$.

г) Даны функции $y = -x^2$ и $y = x - 2$.

Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = x - 2$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2 + x - 2$

Решим уравнение $x^2 + x - 2 = 0$ по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 1$, используя уравнение $y = x - 2$:

$y_1 = 1 - 2 = -1$

Первая точка пересечения: $(1, -1)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = -2 - 2 = -4$

Вторая точка пересечения: $(-2, -4)$.

Ответ: $(1, -1)$, $(-2, -4)$.