Номер 44.29, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.29 a) $y = x^2$ и $y = 2x$;

б) $y = -x^2$ и $y = -3x$;

в) $y = x^2$ и $y = -x$;

г) $y = -x^2$ и $y = x$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 2x$, необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 = 2x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы $x$:
$x_1 = 0$
или
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$ для каждой найденной абсциссы, подставив их в любое из исходных уравнений (например, в $y = 2x$):
При $x_1 = 0$: $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Первая точка пересечения — $(0; 0)$.
При $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$. Вторая точка пересечения — $(2; 4)$.
Ответ: (0; 0), (2; 4).

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = -3x$ приравняем их правые части:
$-x^2 = -3x$
Умножим обе части уравнения на $-1$ и перенесем все члены в левую часть:
$x^2 = 3x$
$x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 3) = 0$
Находим абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
или
$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
Теперь найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = -3x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = -3 \cdot 0 = 0$. Первая точка — $(0; 0)$.
При $x_2 = 3$: $y_2 = -3 \cdot 3 = -9$. Вторая точка — $(3; -9)$.
Ответ: (0; 0), (3; -9).

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -x$, приравняем их правые части:
$x^2 = -x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Находим абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
или
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Теперь найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = -x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = -(0) = 0$. Первая точка — $(0; 0)$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = -(-1) = 1$. Вторая точка — $(-1; 1)$.
Ответ: (0; 0), (-1; 1).

г) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = x$ приравняем их правые части:
$-x^2 = x$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, в правую:
$0 = x^2 + x$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Находим абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
или
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Теперь найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = 0$. Первая точка — $(0; 0)$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = -1$. Вторая точка — $(-1; -1)$.
Ответ: (0; 0), (-1; -1).