Номер 44.31, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.31 a) $y = x^2$ и $y = -2x + 3$;

б) $y = -x^2$ и $y = x + 5$;

в) $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$;

г) $y = x^2$ и $y = x - 3$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -2x + 3$, необходимо приравнять выражения для $y$:
$x^2 = -2x + 3$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем корни.Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любую из исходных функций, например, в $y = x^2$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 1^2 = 1$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = (-3)^2 = 9$.
Таким образом, точки пересечения графиков: $(1, 1)$ и $(-3, 9)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-3, 9)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = x + 5$, приравняем выражения для $y$:
$-x^2 = x + 5$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$x^2 + x + 5 = 0$
Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.
Ответ: нет точек пересечения.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$, приравняем выражения для $y$:
$-x^2 = 2x - 3$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это уравнение идентично уравнению из пункта а). Его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любую из исходных функций, например, в $y = -x^2$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = -(1)^2 = -1$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -(-3)^2 = -9$.
Таким образом, точки пересечения графиков: $(1, -1)$ и $(-3, -9)$.
Ответ: $(1, -1)$, $(-3, -9)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x - 3$, приравняем выражения для $y$:
$x^2 = x - 3$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$x^2 - x + 3 = 0$
Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.
Ответ: нет точек пересечения.