Номер 2, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 43. Среднее значение и дисперсия. Темы исследовательских работ - номер 2, страница 187.

Условие.

2. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов.

Решение 1.

Решение 8.

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения более простых многочленов или одночленов. Часто, чтобы полностью разложить многочлен, одного метода недостаточно, и требуется последовательное применение нескольких приёмов. Этот процесс называется разложением с помощью комбинации различных приёмов.

Основная идея заключается в том, чтобы на каждом шаге упрощать выражение, применяя наиболее подходящий метод, а затем анализировать полученные множители и, если это возможно, продолжать их разложение.

Общий алгоритм разложения многочлена на множители:

Шаг 1. Вынесение общего множителя. Всегда начинайте с поиска общего множителя для всех членов многочлена. Если он есть, вынесите его за скобки. Этот шаг упрощает все последующие действия.

Шаг 2. Анализ оставшегося многочлена. После вынесения общего множителя (или если его не было) проанализируйте полученное выражение. В зависимости от количества членов, попробуйте применить:

- Для двучлена: формулы разности квадратов ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$), разности кубов ($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$) или суммы кубов ($a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$).

- Для трехчлена: формулы квадрата суммы или разности ($a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$). Если это квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$, можно разложить его с помощью нахождения корней по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$.

- Для четырехчлена и более: способ группировки. Иногда требуется искусственно разбить какой-либо член на два для успешной группировки.

Шаг 3. Повторное разложение. После применения одного из методов проверьте каждый из полученных множителей. Возможно, его тоже можно разложить дальше. Повторяйте Шаги 1 и 2 для каждого нового множителя.

Шаг 4. Завершение. Разложение считается законченным, когда ни один из множителей в произведении нельзя разложить дальше на более простые множители с целыми коэффициентами.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примерах.

Пример 1

Разложить на множители многочлен $5x^3 - 45x$.

Решение:

1. Вынесение общего множителя. Замечаем, что оба члена делятся на $5x$. Выносим $5x$ за скобки:$5x^3 - 45x = 5x(x^2 - 9)$.

2. Применение формулы сокращенного умножения. Выражение в скобках, $x^2 - 9$, представляет собой разность квадратов, так как $x^2$ это квадрат $x$, а 9 это квадрат 3. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$, $b=3$:$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

3. Запись итогового результата. Собираем все вместе. Множители $(x-3)$ и $(x+3)$ дальше не раскладываются.$5x^3 - 45x = 5x(x-3)(x+3)$.

Здесь мы скомбинировали два приема: вынесение общего множителя и формулу разности квадратов.

Ответ: $5x(x-3)(x+3)$.

Пример 2

Разложить на множители многочлен $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.

Решение:

1. Вынесение общего множителя. Общего множителя для всех четырех членов нет.

2. Способ группировки. Так как у нас четыре члена, попробуем сгруппировать их попарно. Сгруппируем первый со вторым и третий с четвертым:$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$. Из второй группы вынесем $-4$, чтобы в скобках получилось такое же выражение, как и в первой группе:$x^2(x - 3) - 4(x - 3)$.

Теперь у нас есть общий множитель $(x-3)$, который мы можем вынести за скобки:$(x - 3)(x^2 - 4)$.

3. Повторное разложение. Проверим полученные множители. Множитель $(x-3)$ дальше не раскладывается. Множитель $(x^2-4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить:$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

4. Запись итогового результата. Подставляем разложенный множитель в наше выражение:$(x - 3)(x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $(x-3)(x-2)(x+2)$.

Пример 3

Разложить на множители многочлен $x^4 + x^2 - 2$.

Решение:

Данный многочлен является биквадратным. Можно решить его заменой $y=x^2$, но можно использовать и другой комбинированный подход.

1. Представление члена в виде суммы. Представим средний член $x^2$ в виде $2x^2 - x^2$. Это позволит в дальнейшем применить группировку и формулы:$x^4 + x^2 - 2 = x^4 + 2x^2 - x^2 - 2$.

2. Группировка. Сгруппируем члены:$(x^4 + 2x^2) - (x^2 + 2)$.

Вынесем из первой скобки $x^2$:$x^2(x^2+2) - 1(x^2+2)$.

Вынесем общий множитель $(x^2+2)$:$(x^2+2)(x^2-1)$.

3. Повторное разложение. Множитель $(x^2+2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Множитель $(x^2-1)$ — это разность квадратов:$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

4. Запись итогового результата.$(x^2+2)(x-1)(x+1)$.

Ответ: $(x^2+2)(x-1)(x+1)$.

Пример 4

Разложить на множители многочлен $x^2 - 6x + 9 - y^2$.

Решение:

1. Группировка. Общего множителя для всех нет. Замечаем, что первые три члена $x^2 - 6x + 9$ образуют формулу сокращенного умножения. Сгруппируем их:$(x^2 - 6x + 9) - y^2$.

2. Применение формулы полного квадрата. Выражение в скобках является полным квадратом разности:$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

3. Применение формулы разности квадратов. Подставим это обратно в выражение:$(x-3)^2 - y^2$.

Теперь мы получили разность квадратов вида $a^2-b^2$, где $a = (x-3)$ и $b = y$. Применим соответствующую формулу:$( (x-3) - y )( (x-3) + y ) = (x-3-y)(x-3+y)$.

Для удобства записи можно упорядочить переменные:$(x-y-3)(x+y-3)$.

Ответ: $(x-y-3)(x+y-3)$.