Номер 7, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Есть несколько чисел, больших $3$, но меньших $5$. Проверьте, что их среднее тоже больше $3$, но меньше $5$.

Для проверки этого утверждения воспользуемся математическим доказательством.

Пусть у нас есть $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$. По условию задачи, каждое из этих чисел больше 3, но меньше 5. Это можно записать в виде двойного неравенства для каждого числа $x_i$, где $i$ — любое целое число от 1 до $n$:

$3 < x_i < 5$

Среднее арифметическое этих чисел, обозначим его как $A$, вычисляется по формуле:

$A = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Наша задача — доказать, что $3 < A < 5$. Докажем это в два этапа.

1. Докажем, что среднее больше 3 ($A > 3$).

Из условия мы знаем, что каждое число $x_i$ больше 3. Запишем это в виде системы неравенств:

$x_1 > 3$

$x_2 > 3$

...

$x_n > 3$

Сложив все эти $n$ неравенств, мы получим:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n > 3 + 3 + \dots + 3$

Сумма в правой части состоит из $n$ троек, поэтому:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n > 3n$

Теперь разделим обе части неравенства на $n$. Так как $n$ (количество чисел) является положительным числом, знак неравенства не изменится:

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} > \frac{3n}{n}$

Слева у нас среднее арифметическое $A$, а справа — 3. Следовательно:

$A > 3$

2. Докажем, что среднее меньше 5 ($A < 5$).

Аналогично, из условия мы знаем, что каждое число $x_i$ меньше 5:

$x_1 < 5$

$x_2 < 5$

...

$x_n < 5$

Сложим эти $n$ неравенств:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n < 5 + 5 + \dots + 5$

Сумма в правой части состоит из $n$ пятерок:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n < 5n$

Разделим обе части на положительное число $n$:

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} < \frac{5n}{n}$

Отсюда получаем:

$A < 5$

Объединяя результаты, полученные на двух этапах ($A > 3$ и $A < 5$), мы приходим к выводу, что среднее арифметическое $A$ действительно находится между 3 и 5:

$3 < A < 5$

Утверждение доказано.

Ответ: утверждение верно, среднее арифметическое нескольких чисел, каждое из которых больше 3, но меньше 5, всегда будет также больше 3, но меньше 5.