Номер 2, страница 185, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Почему среднее ряда и среднее соответствующего упорядоченного ряда равны между собой?

Среднее арифметическое (или просто среднее) числового ряда — это величина, которая зависит только от двух параметров: суммы всех чисел в этом ряду и их количества.

Формула для вычисления среднего арифметического $(\bar{x})$ для ряда чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ выглядит следующим образом:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Когда мы упорядочиваем ряд, мы всего лишь меняем порядок следования его членов. Например, располагаем их по возрастанию или убыванию. При этом:

• Набор чисел остается абсолютно тем же.
• Количество чисел $(n)$ в ряду не изменяется.

Ключевым свойством, объясняющим равенство средних, является коммутативный (переместительный) закон сложения. Он гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. То есть, сумма чисел в исходном ряду будет точно такой же, как и сумма чисел в упорядоченном ряду.
Например: $5 + 1 + 9 = 1 + 5 + 9 = 15$.

Поскольку и числитель (сумма элементов), и знаменатель (количество элементов) в формуле среднего арифметического остаются неизменными после упорядочивания, то и само значение среднего не изменится.

Рассмотрим на примере:
Пусть дан исходный ряд: {8, 3, 10, 3, 6}.
Сумма элементов: $8 + 3 + 10 + 3 + 6 = 30$.
Количество элементов: $n = 5$.
Среднее значение: $\bar{x} = \frac{30}{5} = 6$.

Теперь упорядочим этот ряд по возрастанию: {3, 3, 6, 8, 10}.
Сумма элементов: $3 + 3 + 6 + 8 + 10 = 30$.
Количество элементов: $n = 5$.
Среднее значение: $\bar{x} = \frac{30}{5} = 6$.
Результаты полностью совпадают.

Ответ: Среднее ряда и среднее соответствующего упорядоченного ряда равны между собой, потому что операция упорядочивания (сортировки) не изменяет ни состав элементов ряда, ни их количество. Вследствие коммутативного закона сложения, сумма элементов остается прежней. Так как и сумма (числитель дроби), и количество элементов (знаменатель) не меняются, то и их частное — среднее арифметическое — также остается неизменным.