Номер 3, страница 179, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Что значит «сократить алгебраическую дробь»?

Сократить алгебраическую дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий множитель, который должен быть отличен от нуля. В результате этого действия получается новая дробь, тождественно равная исходной на ее области допустимых значений (ОДЗ), но имеющая более простой вид.

В основе сокращения дробей лежит основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится. Для алгебраической дроби вида $\frac{A}{B}$ это можно записать так:

$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$ (при $B \neq 0$ и $C \neq 0$).

Сокращение дроби представляет собой применение этого свойства для перехода от более сложной дроби к более простой.

Порядок действий при сокращении алгебраической дроби следующий:

1. Разложить на множители числитель и знаменатель дроби. Для этого используются такие приемы, как вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения (например, разность квадратов, квадрат суммы/разности), метод группировки.

2. Найти общие множители в числителе и знаменателе.

3. Разделить (сократить) числитель и знаменатель на все найденные общие множители.

Пример 1: Сократить дробь $\frac{a^2 - 9}{2a + 6}$.

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а в знаменателе вынесем общий множитель за скобки:

$\frac{a^2 - 9}{2a + 6} = \frac{(a-3)(a+3)}{2(a+3)}$

Видно, что общим множителем является выражение $(a+3)$. Сократим на него числитель и знаменатель:

$\frac{(a-3)(a+3)}{2(a+3)} = \frac{a-3}{2}$

Важно отметить, что данное равенство справедливо только при условии, что сокращаемый множитель не равен нулю: $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.

Пример 2: Сократить дробь $\frac{12x^2y - 18xy^2}{8x^2 - 12xy}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель, вынося общие множители за скобки в каждом из них:

Числитель: $12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)$

Знаменатель: $8x^2 - 12xy = 4x(2x - 3y)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{6xy(2x - 3y)}{4x(2x - 3y)}$

Общими множителями здесь являются $2$, $x$ и выражение в скобках $(2x - 3y)$. Сократим на них:

$\frac{6xy(2x - 3y)}{4x(2x - 3y)} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x \cdot y \cdot (2x - 3y)}{2 \cdot 2 \cdot x \cdot (2x - 3y)} = \frac{3y}{2}$

Это сокращение возможно при выполнении условий $x \neq 0$ и $2x-3y \neq 0$, при которых знаменатель исходной дроби не обращается в ноль.

Ответ: Сократить алгебраическую дробь — это разделить ее числитель и знаменатель на их общий ненулевой множитель. Эта операция упрощает дробь, сохраняя ее значение для всех допустимых значений переменных.