Номер 2, страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Приведите пример тождества, верного при любых значениях переменных.

Тождество — это равенство двух выражений, которое остаётся верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Другими словами, какие бы числа мы ни подставили вместо букв, мы всегда получим верное числовое равенство.

Привести пример тождества — значит записать такое равенство. В алгебре существует множество стандартных тождеств, например, формулы сокращённого умножения или свойства арифметических операций.

Рассмотрим в качестве примера тождество разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Это равенство верно для любых чисел $a$ и $b$. Чтобы убедиться в этом, можно выполнить преобразование одной из частей равенства и показать, что она совпадает с другой частью.

Доказательство:

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки по правилу умножения многочленов:

$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ba - b^2$

Поскольку для умножения чисел справедлив переместительный (коммутативный) закон ($ab = ba$), члены $ab$ и $-ba$ взаимно уничтожаются:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы получили, что правая часть $(a-b)(a+b)$ тождественно равна левой части $a^2 - b^2$. Это доказывает, что данное равенство является тождеством.

Проверка на конкретных числах:

Подставим произвольные значения, например, $a=10$ и $b=4$.

Вычислим левую часть: $10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84$.

Вычислим правую часть: $(10-4)(10+4) = 6 \cdot 14 = 84$.

Равенство $84 = 84$ является верным, что и подтверждает справедливость тождества для данных значений.

Ответ: Примером тождества, верного при любых значениях переменных, является формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Другими распространёнными примерами являются распределительный закон $c(a+b) = ca+cb$ или основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.