Номер 1, страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Что такое тождество?

1. Что такое тождество?

В математике тождество — это равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Основное отличие тождества от уравнения заключается в том, что уравнение, как правило, имеет ограниченное число решений (корней), в то время как тождество справедливо для всего множества значений переменных из его области определения.

Например, выражение $x + 5 = 8$ является уравнением, так как оно истинно только при одном значении переменной: $x=3$.

С другой стороны, выражение $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ является тождеством. Какими бы ни были значения $a$ и $b$, это равенство всегда будет выполняться. Проверка:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Замена одного выражения на другое, тождественно равное ему, называется тождественным преобразованием. Такие преобразования являются основой для упрощения выражений и решения уравнений.

Другие примеры тождеств:

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (верно для любого $x$).
• Свойство логарифмов: $\log_c(ab) = \log_c(a) + \log_c(b)$ (верно для всех $a>0, b>0, c>0, c \neq 1$).
• Распределительный закон умножения: $a(b+c) = ab + ac$ (верно для любых $a, b, c$).

Важно обращать внимание на область допустимых значений (ОДЗ). Например, равенство $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ является тождеством для всех $x$, кроме $x=1$, так как при $x=1$ знаменатель левой части обращается в ноль, и выражение теряет смысл.

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.