Номер 2, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. В чём заключается метод выделения полного квадрата?

Суть метода

Метод выделения полного квадрата — это алгебраическое преобразование, которое используется для приведения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ к форме $a(x-h)^2 + k$. Это достигается путем добавления и вычитания определенного числа, чтобы часть выражения стала полным квадратом, то есть квадратом суммы или разности. Основой метода служат формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$
• Квадрат разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

Цель — получить в выражении член $m^2 \pm 2mn + n^2$, который затем можно "свернуть" в $(m \pm n)^2$.

Алгоритм выделения полного квадрата из трехчлена $ax^2 + bx + c$

1. Если коэффициент $a \ne 1$, вынести его за скобки из первых двух слагаемых: $a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$.
2. В скобках к выражению $x^2 + \frac{b}{a}x$ нужно добавить и отнять такое число, чтобы получился полный квадрат. Это число равно квадрату половины коэффициента при $x$. В данном случае это $(\frac{b}{2a})^2$.
   Получаем: $a\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$.
3. Первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат: $a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$.
4. Раскрыть внешние скобки и упростить выражение: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$.

Пример: Решение квадратного уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$

1. Коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому первый шаг алгоритма пропускаем.
2. Рассмотрим часть уравнения $x^2 - 8x$. Здесь первый член — квадрат $x$. Второй член, $-8x$, должен быть удвоенным произведением $x$ на второе слагаемое в скобках. То есть, $-2 \cdot x \cdot n = -8x$. Отсюда $n=4$.
3. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $n^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16 в левой части уравнения:
$(x^2 - 8x + 16) - 16 + 12 = 0$
4. "Сворачиваем" полный квадрат и упрощаем:
$(x - 4)^2 - 4 = 0$
5. Теперь решаем полученное уравнение:
$(x-4)^2 = 4$
$x-4 = 2$ или $x-4 = -2$
$x_1 = 6$
$x_2 = 2$

Этот метод также широко используется для нахождения координат вершины параболы. В нашем примере парабола $y = x^2 - 8x + 12$ после преобразования имеет вид $y = (x-4)^2 - 4$. Из этой записи видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(4, -4)$.

Ответ: Метод выделения полного квадрата заключается в тождественном преобразовании квадратного трёхчлена путём добавления и вычитания такого слагаемого, которое вместе с членами, содержащими переменную, образует полный квадрат (квадрат суммы или разности). Это позволяет представить многочлен в более удобном для анализа и решения задач виде (например, для решения квадратных уравнений, нахождения вершины параболы или вывода формулы корней).