Номер 3, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле суммы кубов.

Разложение многочлена на множители по формуле суммы кубов выполняется с помощью следующего тождества (формулы сокращенного умножения):

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Эта формула означает, что сумма кубов двух выражений ($a$ и $b$) равна произведению их суммы ($a+b$) на неполный квадрат их разности ($a^2 - ab + b^2$).

Чтобы применить эту формулу, необходимо представить исходный многочлен как сумму двух слагаемых, каждое из которых является кубом некоторого числа или выражения.

Пример.

Рассмотрим разложение многочлена $x^3 + 8$ на множители.

1. Представление в виде суммы кубов.

Сначала представим каждый член многочлена в виде куба:

• Первый член $x^3$ уже является кубом переменной $x$.
• Второй член $8$ можно представить как куб числа $2$, так как $2^3 = 8$.

Таким образом, многочлен можно записать как $x^3 + 2^3$.

2. Применение формулы.

Теперь мы можем применить формулу суммы кубов, где $a = x$ и $b = 2$. Подставим эти значения в формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2)$

3. Упрощение.

Выполним вычисления во второй скобке, чтобы получить окончательный результат:

$(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

Таким образом, мы разложили многочлен $x^3 + 8$ на два множителя: $(x+2)$ и $(x^2 - 2x + 4)$.

Ответ: Примером разложения многочлена по формуле суммы кубов является $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.