Номер 5, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Часть 1 - номер 5, страница 171.

Условие.

5. Приведите пример трёхчлена, который является полным квадратом разности двух выражений, и разложите его на множители.

Решение 1.

Решение 8.

Трёхчлен, который является полным квадратом разности двух выражений, можно получить с помощью формулы сокращённого умножения для квадрата разности: $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$ Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ — это и есть искомый трёхчлен, а $(a - b)^2$ — это его разложение на множители.

Для того чтобы привести пример, выберем два произвольных одночлена в качестве $a$ и $b$. Пусть первым выражением будет $a = 5x$, а вторым — $b = 3$.

Теперь, используя эти выражения, составим трёхчлен по формуле $a^2 - 2ab + b^2$: $$ (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9 $$ Таким образом, $25x^2 - 30x + 9$ — это пример трёхчлена, который является полным квадратом разности выражений $5x$ и $3$.

Далее, разложим полученный трёхчлен на множители. Для этого нужно выполнить обратное действие, то есть представить трёхчлен в виде квадрата разности. Проверим, соответствует ли наш трёхчлен $25x^2 - 30x + 9$ структуре $a^2 - 2ab + b^2$:
Первый член $25x^2$ — это квадрат выражения $5x$ (то есть $a=5x$).
Третий член $9$ — это квадрат числа $3$ (то есть $b=3$).
Средний член $-30x$ — это удвоенное произведение первого и второго выражений со знаком минус: $-2 \cdot (5x) \cdot 3 = -30x$.
Поскольку все условия формулы $a^2 - 2ab + b^2$ соблюдены, разложение на множители будет следующим: $$ 25x^2 - 30x + 9 = (5x - 3)^2 $$ Это разложение можно также записать в виде произведения двух одинаковых скобок: $(5x - 3)(5x - 3)$.

Ответ: Пример трёхчлена: $25x^2 - 30x + 9$. Его разложение на множители: $(5x - 3)^2$.