Номер 3, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Расскажите, о комбинации каких приёмов шла речь в данном параграфе.

В данном параграфе, судя по всему, речь шла о разложении многочленов на множители с использованием комбинации различных приёмов. Часто для полного разложения многочлена на множители недостаточно применить какой-то один метод, и требуется последовательное использование нескольких из них. Такой подход позволяет упрощать сложные алгебраические выражения и решать уравнения.

Основные приёмы разложения на множители, которые комбинируются:

• Вынесение общего множителя за скобки. Это первый шаг, который следует попытаться сделать всегда. Общим множителем может быть как число, так и переменная (в некоторой степени) или целое выражение.
• Применение формул сокращённого умножения. К ним относятся:
  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  • Квадрат суммы и квадрат разности: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
  • Сумма кубов и разность кубов: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
• Способ группировки. Этот метод применяется, когда у многочлена нет общего множителя для всех его членов, но можно сгруппировать члены так, чтобы у каждой группы появился свой общий множитель, который затем можно снова вынести за скобки.

Общая стратегия при разложении многочлена на множители с использованием комбинации приёмов выглядит следующим образом:

1. Проверить, есть ли общий множитель для всех членов многочлена. Если есть, вынести его за скобку.
2. Проанализировать выражение, оставшееся в скобках (или исходный многочлен, если общего множителя не было).
3. Определить количество членов в выражении и попробовать применить подходящий метод:
   • Если это двучлен, проверить, не является ли он разностью квадратов, суммой или разностью кубов.
   • Если это трёхчлен, проверить, не является ли он полным квадратом суммы или разности.
   • Если это многочлен с четырьмя или более членами, попробовать применить способ группировки.
4. После применения одного из методов проверить, можно ли разложить на множители полученные в результате сомножители. Процесс продолжается до тех пор, пока все множители не станут неприводимыми (то есть их нельзя будет разложить дальше).

Рассмотрим применение комбинации приёмов на примерах.

Пример 1: Разложить на множители многочлен $7x^3 - 7y^3$.

1. Вынесение общего множителя. Общий числовой множитель здесь $7$. Выносим его за скобки: $7(x^3 - y^3)$.

2. Применение формулы разности кубов. Выражение в скобках $x^3 - y^3$ раскладывается по формуле разности кубов. В итоге получаем:

$7(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Здесь была использована комбинация вынесения общего множителя и формулы сокращенного умножения.

Пример 2: Разложить на множители многочлен $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.

1. Способ группировки. Общего множителя для всех членов нет. Сгруппируем попарно: $(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12)$.

2. Вынесение общего множителя в каждой группе. В первой группе выносим $x^2$, во второй $-4$: $x^2(x - 3) - 4(x - 3)$.

3. Вынесение общего множителя-многочлена. Теперь общим множителем является скобка $(x - 3)$. Выносим её: $(x - 3)(x^2 - 4)$.

4. Применение формулы разности квадратов. Множитель $(x^2 - 4)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.

Окончательный результат: $(x - 3)(x - 2)(x + 2)$.

В этом примере мы скомбинировали способ группировки и формулу разности квадратов.

Ответ: В данном параграфе речь шла о комбинации различных приёмов для разложения многочленов на множители. Суть подхода заключается в последовательном применении нескольких методов. Обычно алгоритм таков: сначала выносится общий множитель за скобки (если он есть), затем к оставшемуся выражению применяется один из методов — способ группировки или формулы сокращённого умножения (разность квадратов, квадрат суммы/разности, сумма/разность кубов). Этот процесс повторяется для каждого из полученных множителей, пока дальнейшее разложение не станет невозможным.