Номер 4, страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Может ли в результате сокращения алгебраической дроби в ответе получиться одночлен? число?

Да, в результате сокращения алгебраической дроби может получиться и одночлен, и число. Число является частным случаем одночлена (одночлен нулевой степени). Рассмотрим оба варианта подробно.

Может ли в результате сокращения алгебраической дроби в ответе получиться одночлен?

Да, может. Алгебраическая дробь — это отношение двух многочленов $\frac{P}{Q}$, где $Q \neq 0$. Одночлен — это выражение, представляющее собой произведение числа (коэффициента) и переменных в натуральных степенях.

Чтобы в результате сокращения получился одночлен, необходимо, чтобы после разложения числителя и знаменателя на множители все множители знаменателя сократились с соответствующими множителями в числителе, а оставшееся выражение в числителе было одночленом.

Рассмотрим пример. Пусть дана алгебраическая дробь $\frac{8x^3-16x^2}{x-2}$.

Сначала разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $8x^2$ за скобки:

$8x^3-16x^2 = 8x^2(x-2)$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и выполним сокращение. Сокращение возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

$\frac{8x^2(x-2)}{x-2} = 8x^2$.

Полученное выражение $8x^2$ является одночленом, где 8 — коэффициент, $x$ — переменная, 2 — степень.

Ответ: да, может.

Может ли в результате сокращения алгебраической дроби в ответе получиться число?

Да, может. Как уже было сказано, число — это частный случай одночлена, не содержащего переменных (или, что то же самое, все переменные возведены в нулевую степень). Это происходит, когда числитель можно представить как произведение некоторого числа и выражения, полностью совпадающего со знаменателем.

Рассмотрим пример. Возьмем алгебраическую дробь $\frac{5a-10}{a-2}$.

Разложим числитель на множители, вынеся за скобки числовой множитель 5:

$5a-10 = 5(a-2)$.

Теперь сократим дробь, учитывая область допустимых значений ($a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$):

$\frac{5(a-2)}{a-2} = 5$.

В результате сокращения дроби получилось число 5.

Ответ: да, может.