Номер 3, страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Приведите пример тождества, верного не при всех, а лишь при допустимых значениях переменных.

Тождество — это равенство, которое истинно для всех значений входящих в него переменных. Однако некоторые алгебраические выражения, например дроби или корни, имеют смысл не при любых значениях переменных. Множество значений переменных, при которых выражение определено, называется областью допустимых значений (ОДЗ). Тождество, содержащее такие выражения, будет верным только для тех значений переменных, которые входят в его ОДЗ.

В качестве примера можно привести следующее тождество, основанное на сокращении дроби:

$\frac{a^2 - 9}{a + 3} = a - 3$

Это равенство является тождеством, но оно верно не для всех значений переменной $a$. Левая часть равенства, $\frac{a^2 - 9}{a + 3}$, является дробью. Она определена только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Найдем значение $a$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$a + 3 = 0 \implies a = -3$

Следовательно, область допустимых значений для переменной $a$ в этом выражении — это все числа, кроме $a=-3$. Правая часть, $a-3$, определена для любого значения $a$.

Для всех допустимых значений ($a \neq -3$) мы можем преобразовать левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{a^2 - 9}{a + 3} = \frac{(a-3)(a+3)}{a+3}$

Так как $a \neq -3$, то $a+3 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a+3)$:

$\frac{(a-3)(a+3)}{a+3} = a-3$

Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Это доказывает, что равенство является тождеством. Однако, при $a=-3$ левая часть не определена (так как знаменатель равен нулю), а правая часть равна $-3-3=-6$. Поскольку левая часть не имеет смысла, равенство не выполняется. Таким образом, это тождество верно только при допустимых значениях переменной, то есть при $a \neq -3$.

Другой простой пример — тождество с квадратным корнем:

$(\sqrt{a})^2 = a$

Левая часть этого равенства определена только при $a \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. Правая же часть определена для любого $a$. Следовательно, это тождество верно не для всех $a$, а только для $a \ge 0$.

Ответ: Примером тождества, верного не при всех, а лишь при допустимых значениях переменных, является $\frac{a^2 - 9}{a + 3} = a - 3$, которое верно при всех $a \neq -3$. Другой пример: $(\sqrt{a})^2 = a$, верное при всех $a \ge 0$.